4.5-n维Euclid空间

第4章向量空间与线性空间4.1向量组及其线性相关性4.4向量空间4.3线性方程组解的结构4.5n维Euclid空间4.6线性空间及其线性变换4.2向量组的秩4.5n维Euclid空间4.5.1向量的内积4.5.2正交向量组4.5.3正交矩阵内容小结n维Euclid空间3/20定义4.8设有两个n维实向量和T12(,,,)naaaα一、向量的内积定义了内积的向量空间n称为n维Euclid空间.令T12(,,,),nbbbβ1122,,nnabababαβ狁=注Euclid空间是Euclid研究的二维和三维空间的推广.称之为向量与的内积.αβn维Euclid空间4/20,,;αββα(1)对称性狁狁,,,klklαβγαγβγ(2)线性性狁狁狁;内积的运算性质():,,,,nklαβγ,0;,,0ααααα0.(3)当且仅当时狁狁非负性注若都是列向量,则内积可表示为,αβTT,αβαββα.狁=n维Euclid空间5/2022212||,|,|naaaααα狁定义4.9设有实向量,令T12(,,,)naaaα称之为的长度(或范数).α长度为1的向量称为单位向量.当时,称为的单位化.α0||||αααn维Euclid空间6/20||||||||||;kkαα(2)齐次性|,|||||||||;αβαβCauchy-Schwaz(r3)不等式狁长度的运算性质():,,nkαβ0|||||||;,0|ααα()01.当且仅当时非负性||||||||||||αβαβ(4).三角不等式注1821年,Cauchy证明了该不等式.1859年,Bunyakovsky证明该不等式对其他内积成立.1885年,Schwarz证明了该不等式对另外的内积成立.n维Euclid空间7/20注零向量与任何同维向量都正交.定义4.10设有两个非零实向量和,称αβ||,arccos,0π||||||αβαβ狁αβ.为向量与的夹角当时,称与正交.αβ,αβ狁=0n维Euclid空间8/20二、正交向量组则称12,,,mααα为正交向量组.如果还有则称为||||1(1,2,,),iimα12,,,mααα标准正交向量组.定义4.11设,,1,2,,,iniimαα0若12,,,mααα两两正交,n维Euclid空间9/20定理4.21设12,,,mααα为n的正交向量组,则(1)22221212|||||||||||||;|||mmαααααα(2)12,,,mααα线性无关;勾股定理(3)若mn,则存在使得为正,nα12,,,,mαααα交向量组.n维Euclid空间10/20注1.线性无关概念是正交概念的推广.2.n中必存在n个向量构成的正交向量组.3.勾股定理最早出现在公元前2世纪中国古代数学著作《周髀算经》之中.传统的说法一致认为出生于希腊祖师Pythagoras发现了勾股定理.髀指古代的测量日影的表.n维Euclid空间11/20Euclid空间n中必存在n个向量组成的正交向量组,它们构成n的一个基,称为正交基.每个向量都是单位向量的正交基就称为标准正交基.Euclid空间n中基本向量组成的自然基就是它的标准正交基.例4.18设为Euclid空间n的标准正交基.12,,,nααα证明:Euclid空间n中任何向量在基下β12,,,nααα,1,2,,jjnβα.,坐标的第j个分量为n维Euclid空间12/20设是n中线性无关向量组,取12,,,mααα11,,2,3,,,,jjijjiiiijmαββαβββ狁狁11,βα则是正交向量组,且与等价.12,,,mβββ12,,,mααα上述过程称为正交化.n维Euclid空间13/20,||||1,2,,,jjjjmβγβ再将单位化,即取12,,,mβββ这就是Gram-Schmidt正交化方法.整个过程称为标准正交化.丹麦精算师Gram与Schwarz的学生Schmidt(1807年)发现了这个方法.n维Euclid空间14/20解要求的应是线性方程即23,ααT10αx123230xxx12231,0,01ξξ的解,求得它的基础解系为都与正交.12,ξξ1a例4.19将扩充为3的正交基.T1(1,2,3)α123,,ααα再将正交化,取12,ξξn维Euclid空间15/2021,αξ2232222,,ξααξααα最后,得到3的一个正交基32601510316,5512312312,1,65305ααα.n维Euclid空间16/20单位矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵正交矩阵.11221122二阶矩阵是正交矩阵.对于正交矩阵A,有ATA1.T,nAAAEA实若阶矩阵满足则称为定义4.12n维Euclid空间17/20正交矩阵具有下列性质:(1)若A是正交矩阵,则A1或1.(2)若A是正交矩阵,则AT,A1和A都是正交矩阵.(3)若A,B是n阶正交矩阵,则AB是正交矩阵.注1854年,Hermite首次使用了正交矩阵这一术语.但正式的定义是1878年才由Frobenius给出.n维Euclid空间18/20T1TT212T[]nnααAAαααα将n阶实矩阵A按列分块为12[],nAαααTTT11121TTT21222TTT12,nnnnnnαααααααααααααααααα因此ATAE当且仅当对一切,有,1,2,,ijnT1,,0,.ijijijαα则,ijαα狁=n维Euclid空间19/20定理4.22n阶实矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量组或行向量组为标准正交向量组.称矩阵也是正交矩阵.例4.20设为单位向量,证明既是实对T2HEαααn维Euclid空间20/20四、小结1.向量的内积、长度、夹角2.正交向量组的概念和性质3.向量空间的正交基4.Gram-Schmidt正交化方法5.正交矩阵