2015上半年系统集成项目管理管理师真题之案例分析题

1专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即0(,)0AxByCFxy消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。方程ax2＋bx＋c＝0的解.交点个数l与C的关系a＝0b=0无解（含双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）一个交点相交a≠0Δ＞0两个不等的解两个交点相交Δ＝0两个不等的解一个交点相切Δ＜0无实数解无公共点相离2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝222121xxyy（）（）＝221k|x1－x2|＝211k·|y1－y2|.（抛物线错误!未找到引用源。的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinp，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1、利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化2为判别式与0的大小关系求解。例1已知椭圆C：2224xy.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，试判断直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆C：2224xy化为标准方程，确定2a，2b，利用ace求得离心率；（2）设点),(00yxA，)2,(tB，其中00x，由OBOA，即0OBOA，用0x、0y表示t，当tx0或tx0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB与圆222xy的位置关系.【解析】3故22168|4|4|22|202040020202020200200xxxxxxyyxxyxd.故此直线AB与圆222yx相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝21k·|x1－x2|＝211k|y1－y2|，而|x1－x2|＝221214xxxx（），可根据直线方程与圆锥曲线方程联4立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2已知椭圆2222:10xyCabab，其中12,FF为左、右焦点，且离心率33e，直线l与椭圆交于两不同点1122,,,PxyQxy.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为4时，原点O到直线l的距离为22.（1）求椭圆C的方程；（2）若OPOQON，当OPQ面积为62时，求||||ONOP的最大值.【答案】（1）22132xy；（2）5.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算22||||ONOP，利用基本不等式求最值.5由前知123kxxm，2121232()22kyykxxmmmm，22221212222941()()2(3)kONxxyymmm.622222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)kmmPQkkmm11分2222114(3)(2)25ONPQmm≤，当且仅当221132mm，即2m时等号成立，故5ONPQ≤.综上可知ONPQ的最大值为5.13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab与直线:()lxmmR,四点)0,22(),1,3(，)1,3(，（3,3）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PMPN，再过P作直线'lMN.证明直线'l恒过定点，并求出该定点的坐标．分析：由椭圆的的性质可判断出点的位置，并求出椭圆的方程；利用点差法表示出直线MN的斜率，由'lMN得出直线'l的斜率，从而写出直线'l的方程，通过直线方程求出定点坐标。7【练一练提升能力】1.如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1(0)Cyxy连接而成，12,CC的公共点为,AB，其中1C的离心率为32.（1）求,ab的值；（2）过点B的直线l与12,CC分别交于,PQ（均异于点,AB），若APAQ，求直线l的方程.8【答案】（1）2a，1b；(2)8(1)3yx【解析】92.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有||||FAFD.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线1//ll，且1l和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（I）24yx.（II）（ⅰ）直线AE过定点(1,0)F.（ⅱ）ABE的面积的最小值为16.【解析】（I）由题意知(,0)2PF设(,0)(0)Dtt，则FD的中点为2(,0)4pt，因为||||FAFD，由抛物线的定义知：3||22ppt，解得3tp或3t（舍去）.10由234pt，解得2p.所以抛物线C的方程为24yx.（II）（ⅰ）由（I）知(1,0)F，设0000(,)(0),(,0)(0)DDAxyxyDxx，因为||||FAFD，则0|1|1Dxx，由0Dx得02Dxx，故0(2,0)Dx，故直线AB的斜率为02AByk，因为直线1l和直线AB平行，设直线1l的方程为02yyxb，代入抛物线方程得200880byyyy，由题意20064320byy，得02by.设(,)EEExy，则04Eyy，204Exy.当204y时，0000220002044444EABEyyyyykyxxyy，可得直线AE的方程为000204()4yyyxxy，由2004yx，整理可得0204(1)4yyxy，直线AE恒过点(1,0)F.当204y时，直线AE的方程为1x，过点(1,0)F，11所以直线AE过定点(1,0)F.所以点B到直线AE的距离为0000248|4()1|1xmyxydm004(1)xx120014()xx.则ABE的面积00001114()(2)162Sxxxx，当且仅当001xx即01x时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.3.圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1xyCab过点P且离心率为3.（1）求1C的方程；（2）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程.【答案】（Ⅰ）2212yx；(Ⅱ)36(1)302xy，或36(1)302xy..【解析】13由题意知222222213ababa解得221,2ab，故1C方程为2212yx.14轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】1.曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2.求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p（M）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x,y)=0；（4）化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性。3.求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等。【讲一讲提高技能】1、直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.15例1在平面直角坐标系xOy中，,EF两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点G满足:直线EG与直线FG的斜率之积为14．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设,AB为动点G的轨迹的左右顶点，P为直线4xl：上的一动点（点P不在x轴上），连[AP交G的轨迹于C点，连PB并延长交G的轨迹于D点，试问直线CD是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【答案】（1）22104xyx；（2）直线CD恒过定点(1,0)．【解析】试题分析：（1）首先设出动点G的坐标为,xy，然后分别写出直线EG和FG的斜率，再由已知直线EG与直线FG的斜率之积为14，即可列出方程，化简并整理即可得出动点G的轨迹方程；（2）设00(4,)(0)Pyy，于是可得直线AP的方程为：0(2)6yyx，然后联立直线AP和椭圆方程并整理可得242121xaxaxx。再由韦达定理可得0,x，进而可求出点C的坐标，同理可求出点D的坐标，进而可求出直线CD的方程，即可得出直线CD恒过定点．162、定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2设A是圆422yx上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DADM23．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的标准方程；（2）设曲线C的左右焦点分别为1F、2F，经过2F的直线m与曲线C交于P、Q两点，若21212||||||QFPFPQ，求直线m的方程．【答案】（1）13422yx；（2）)1(773xy.【解析】试题分析：（1）从已知可看出本题曲线方程用动点转移法求解，设(,)Mxy是曲线C上任意一点，由有(,0)Dx，设对应的A点坐标为00(,)xy，利用32DMDA可求得0023,3xxyy，再把00(,)xy代入圆的方程就能得