2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题27二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【热点题型】题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、(1)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案(1)A(2)x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面2区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.(2)两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0为所表示的可行域．【提分秘籍】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【举一反三】(1)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为()A．－5B．3C．5D．7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．答案(1)D(2)x＋y－10解析(1)直线ax－y＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a＋1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边3界)，且a－1，则其面积等于12×(a＋1)×1＝4，解得a＝7.(2)边界对应直线方程为x＋y－1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x＋y－10.题型二求线性目标函数的最值例2、(1)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于()A．5B．6C．7D．8(2)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.答案(1)B(2)12当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B4时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝ax－3，得x＝1，y＝－2a，∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝12.【提分秘籍】线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．【举一反三】(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．32D．425(2)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案(1)B(2)D解析(1)由线性约束条件0≤x≤2，y≤2，x≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)代入z＝2x＋y得z的最大值为4.题型三线性规划的实际应用例3、某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每6天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件x＋y≤21，y≤x＋7，36x＋60y≥900，x，y≥0，x，y∈N.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距z2400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．【提分秘籍】解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．【举一反三】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品7可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．题型四求非线性目标函数的最值例4、(1)设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则yx的最大值为________．(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA→＋OM→|的最小值是________．答案(1)32(2)3228【提分秘籍】常见代数式的几何意义有(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．【举一反三】(1)设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.285B．4C.125D．2(2)设变量x，y满足5x＋2y－18≤0，2x－y≥0，x＋y－3≥0，若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．答案(1)B(2)1解析(1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，9可看出点(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小值为2×|3×1－4×1－9|5＝4，选B.(2)画出可行域如图，k为直线y＝kx＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k最大，此直线需过B(2,4)点，所以k＝4－22－0＝1.【高考风向标】1.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020xyxyxym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）(A)-3(B)1(C)43(D)3【答案】B10【解析】如图，，由于不等式组2022020xyxyxym,表示的平面区域为ABC，且其面积等于43，再注意到直线:20ABxy与直线:20BCxym互相垂直，所以ABC是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)ABmm,2422(,)33mmC;从而112222122223ABCmSmmm=43，化简得：2(1)4m，解得3m,或1m，检验知当3m时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m;故选B.2.【2015高考四川，文9】设实数x，y满足2102146xyxyxy，则xy的最大值为()(A)252(B)492(C)12(D)14【答案】A【解析】画出可行域如图11在△ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC上时xy取得最大此时2x＋y＝10xy＝12（2x·y）≤21225()222xy当且仅当x＝52，y＝5时取等号，对应点（52，5）落在线段AC上，故最大值为252。3.【2015高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件2204xyxyx，则23zxy的最大值为（）A．10B．8C．5D．2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：12作直线0:l230xy，再作一组平行于0l的直线:l23xyz，当直线l经过点时，23zxy取得最大值，由224xyx得：41xy，所以点的坐标为4,1，所以max24315z，故选C．4.【2015高考新课标1，文15】若x,y满足约束条件20210220xyxyxy,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由2=021=0xyxy解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.5.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生13产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x，y吨，则利润34zxy由题意可列0,0321228xyxyxy，其表示如图阴影部分区域：当直线340xyz过点(2,3)A时，z取得最大值324318z，故答案选D。6.【2015高考湖南，文4】若变量xy，满足约束条件111xyyxx，则2zxy的最小值为()A、1B、0C、1D、2【答案】A147.【2015高考福建，文10】变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）A．2B．1C．1D．2【答案】Cx–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC158.【2015高考安徽，文5】已知x，y满足约束条件0401xyxyy，则yxz2的最大值是（）（A）-1（B）-2（C）-5（D）1【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令yxz2zxy2，可知在图中)1,1(A处，yxz2取到最大值-1,故选A.9.【2015高考山东，文12】若,xy满足约束条件13,1yxxyy则3zxy的最大值为.【答案】7【解析】画出可行域及直线30xy，平移直线30xy，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3zxy最大为1327z.