2015专题五函数与导数(含近年高考试题)

2015年高考专题系列：函数与导数函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，利用导数判断函数的单调性、极值、最值等问题，以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立等问题，其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与划归、数形结合等重要的思想方法，主要考察导数的工具性作用.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于___，切线方程为000()()()yfxxxfx(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI,_________恒成立(5)函数()fx在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI，()fx0恒成立，则_____0;若xI，()fx0恒成立，则_______0(8)若0xI，使得0()fx0，则_____-0；若0xI，使得0()fx0，则______0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D若xD,()()fxgx恒成立则有min()()0fxgx(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.考点一：导数几何意义：例1：（2014新课标全国Ⅰ卷）设函数1()lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为(1)2yex．（1）求,ab的值考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。例2、（2014新课标山东卷）设函数22()(ln)xefxkxxx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k时，求函数()fx的单调区间；考点三：用导数解决函数的极值问题1、（2014新课标江西卷）已知函数.(1)当时，求的极值；（A,B组同学做）2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．（分类讨论）（13福建）[解](1)由f(x)＝x－1＋aex，得f′(x)＝1－aex.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－aex，①当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.x∈(－∞，lna)，f′(x)0；x∈(lna，＋∞)，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．考点四：已知函数的单调性求参数的范围[典例]已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．（分类讨论）考点五：运用导数解决函数的最值问题例5：设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，（1）求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值．最值突破题：1.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．2.(2013·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围针对训练1、（2014新课标重庆卷）已知函数22()(,,)xxfxaebecxabcR的导函数'()fx为偶函数，且曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线的斜率为4c.（1）确定,ab的值；（2）若3c，判断()fx的单调性；2、（2014新课标福建卷）已知函数axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线xfy在点A处的切线斜率为-1.（I）求a的值及函数xf的极值；3、（2014新课标安徽卷）设函数23()=1+fxxxx（1+a），其中a0.（I）讨论()fx在其定义域上的单调性；4、（2014新课标湖南卷）已知常数20,()ln(1).2xafxaxx函数（1）讨论()fx在区间(0,)上的单调性；总结：最值拔高题：已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．[解](1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0x1a时，f′(x)＝1－axx0；当x1a时，f′(x)＝1－axx0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.②当1a≥2，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，∴当12aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a.[.(2013·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围解](1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2·(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．