2015中考数学8一元二次方程及应用

第8课时一元二次方程及应用【基础知识梳理】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数_的整式方程叫一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是常数项是注意：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax2=b则x2=，x1=，x2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为，即方程两边都二次项的系数②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。3、公式法：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，则一元二次方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式，如果左边分解因式，即产生A×B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即______从而求出方程的两根。注：因式分解的方法：（1）提公因式法（2）公式法：①平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²、a²-2ab+b²=(a-b)²（3）分组分解法（4）十字相乘法注意：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用三、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号“Δ”表示①当时，方程有两个不相等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根注意：（1）方程有两个实数根，则△=b2-4ac≥0（2）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0四、一元二次方程根与系数的关系：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1，x2则x1+x2=x1x2=五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行（实际解题过程中，可以先找等量关系，根据等量关系缺少什么未知数就设什么未知数）常见题型：1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数2、利润问题：总利润=×3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程注意：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。【基础诊断】1、下列方程中，不是一元二次方程的是()A.2x2+7=0B.2x2+23x+1=0C.5x2+x1+4=0D.3x2+(1+x)2+1=02、一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=23、（2014•益阳）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≤14、（2014•威海）方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或25、（2014四川巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【精典例题】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1、（2014•白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．解答：解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为1．考点二：一元二次方程的解法例2、（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）Ax1小于﹣1，x2大于3Bx1小于﹣2，x2大于3Cx1，x2在﹣1和3之间Dx1，x2都小于3分析：本题是解一元二次方程-直接开平方法；估算无理数的大小。求出两根是解题关键解答：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1+＞3，x2=1﹣＜﹣1，故选：A．考点三：根的判别式的运用例3、（2014•广东揭阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）ABCD分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可。本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜故选B考点四：根与系数关系例4、（2014年烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5B．1C．5D．﹣1分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．考点五：一元二次方程的应用例5、（2014•丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．例6、（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．分析：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据。解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【自测训练】A组一、选择题：1、（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02、已知1x、2x是一元二次方程0142xx的两个根，则21xx等于（）A.4B.1C.1D.43、（2014•内江）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）Ak＞Bk≥Ck＞且k≠1Dk≥且k≠14、下列关于x的方程有实数根的是（）Ax2﹣x+1=0Bx2+x+1=0C（x﹣1）（x+2）=0D（x﹣1）2+1=05、（2014昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A.100)1(1442xB.144)1(1002xC.100)1(1442xD.144)1(1002x二、填空题1、下列方程是一元二次方程的是_____________(填序号)①x2+2xy－y2=0②3x+x1=0③x2=1④(3+x)2=4⑤5132x=－9x⑥(x2－3)x+1=x3+3x⑦x2－x+1=x22、（2013白银）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=．3、（2014年四川巴中）菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根，则菱形的面积为4、（2014•德州，第16题4分）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为．5、（2014•随州）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是三、解答题1、解方程：（1）2x2－4x－1=0（配方法）（2）5x2+2x－1=0（公式法）2、（2014•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．3、（2014年广东汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．4、（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【自测训练】B组一、选择题1、（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7B．3C．7或3D．无法确定2、（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（）Ax1+x2＞1，x1•x2＞0Bx1+x2＜0，x1•x2＞0C0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0Dx1+x2与x1•x2的符号都不确定3、（2014•潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（）A27B36C27或36D184、（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，3、是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（）Am=0时成立Bm=2时成立Cm=0或2时成立D不存在5、（2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15二、填空题1、若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m－4，则ba=2、（2014•德州）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为．3、（2014广州）若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为___.4、（2014•兰州）如图，在一块长为22米、宽