2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法(一)

中考数学专题知识突破专题五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1（2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5=．思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．故答案是：1．点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．对应训练1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．1．1000考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。例2（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=22220.51.2ADBD=1.3（m）．故答案为：1.3．点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．对应训练2．（2013•宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．．4.8解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，如图，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP=6810=4.8，故答案为4.8．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3（2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得616100bkb，12=100k1，解得：0.16kb，k1=0.12，∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；（2）由题意，得当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；当x=100时，甲乙两种方式一样合算；当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x．点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．对应训练3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．3．解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40-x）台，由题意，得25002800(40-)10570030003200(40-)123200xxxx，解得：21≤x≤24，∵x为整数，∴x=21，22，23，24∴有4种购买方案：方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；（2）由题意，得=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x），=500x+16000-400x，=100x+16000．∵k=100＞0，∴y随x的增大而增大，∴x=24时，y最大=18400元．（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得2500a+2800b+500c=18400，c=18425285ab．∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数，∴184-25a-28b＞0，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小．当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去；当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10；当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去；当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故c=5；当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去，当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去．∴有2种购买方案：方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10B．-40C．10D．401．A2．（2013•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π2．C3．（2013•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5．B4．（2013•齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8B．2C．2或8D．3或74．C5．（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．25cmB．45cmC．25cm或45cmD．2cm或43cm5．C6．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°6．B7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．187．B8．（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．2B．3C．4D．π8．A二、填空题9．（2013•枣庄）若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．9．1210．（2013•雅安）若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．10．511．（2013•宿迁）已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．11．8或212．（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．．2213．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．13．0或114．（2013•黄石）若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．14．0或-115．（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（-5，0），B（5，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．15．（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）16．（2013•绥化）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是cm2．（结果保留π）16．24π，36π，845π17．（2013•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=3x上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．17．2或-218．（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．18．3819．（2013•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，