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分类思想在一次函数中的应用本文介绍分类讨论思想在解一次函数问题中的应用，供参考．一、根据概念分类例1已知一次函数y＝－3x＋m不经过一象限，求m的取值范围．分析由于正比例函数是特殊的一次函数，故m分两种情况：①当m＝0时，函数为正比例函数，因为k＝－30，所以图象经过二、四象限，满足上述条件．②当m≠0时，k＝－30，又函数图象不经过一象限，所以此函数图象经过二、三、四象限，故m0．综合①、②，得m≤0．例2(2013年云南省中考题)当m＝_______时，函数y＝(m＋3)x2m＋1＋4x－5(x≠0)是一次函数．分析由一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)，可知本题应分三种情况：①当m＋3＝0，即m＝－3时，函数y＝4x－5是一次函数；②当2m＋1＝1，即m＝0时，函数y＝7x－5是一次函数；③当2m＋1＝0，即m＝－12时，函数y＝4x－52是一次函数．综合①、②、③，得m＝－3或0或－12．点评有些一次函数的系数含有变量或参数，它们取不同的值时会得到不同的结果，因此需要对变量或参数进行分类讨论．二、根据函数性质分类例3（2014年自贡市中考题）一次函数y＝kx＋b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则bk的值是_______．分析一次函数的增减性与后的符号有关，而一次函数中自变量的取值范围及相应的函数值没有明确是增函数还是减函数，所以应分k0或k0两种情况进行解答．时，此函数是增函数．故答案为2或－7．三、根据图形位置特征分类例4（2014年唐山市中考题）已知正比例函数和一次函数的图象都经过M(3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与y轴围成的面积为12，则该一次函数的解析式为()分析由于一次函数图象与y轴的交点的位置不确定，故应分两种情况讨论：一种是一次函数图象交于y轴的上方（如图1）；另一种是交于y轴的下方（如图2）．解设一次函数的解析式为y＝kx＋b，其图象与y轴的交点为(0，b)．由题意，可知12b×3＝12，解得b＝±8．∴一次函数图象与y轴的交点为(0，8)或(0，－8)．当直线经过(3，4)、(0，8)两点时，由待定系数法可求得解析式为y＝－43x＋8；当直线经过(3，4)、（0，－8）两点时，由待定系数法可求得解析式为y＝4x－8．四、根据实际应用的需要分类例5（2014年仙桃市中考题）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．(1)该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为_______元，若都在乙林场购买所需费用为_______元；(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？分析(1)由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；(2)根据分段函数的表示法，分别当0≤x≤1000，x1000，或0≤x≤2000，x2000时，由单价×数量就可以得出购买树苗需要拘费用，从而表示出y甲、y乙与x之间的函数关系式；(3)分类讨论：当0≤x≤1000，1000x≤2000，x2000时，表示出y甲、y乙的关系式，就可以求出结论．解(1)由题意，得y甲＝4×1000＋3.8(1500－1000)＝5900元；y乙＝4×1500＝6000元，故答案为5900，6000．(2)当0≤x≤1000时，y甲＝4x；当x1000时，y甲＝4000＋3.8（x－1000）＝3.8x＋200；≤x≤2000时，y乙＝4x；当x2000时，y乙＝8000＋3.6（x－2000）＝3.6x＋800．(3)由题意，①当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，到两家林场购买所需要的费用一样．②当1000x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，故到甲林场优惠，③当x2000时，y甲＝3.8x＋200，y乙＝3.6x＋800，当y甲＝y乙时，3.8x＋200＝3.6x＋800．解得x＝3000．当x＝3000时，到两家林场购买的费用一样；当y甲y乙时，3.8x＋2003.6x＋800．解得x3000，∴2000x3000时，到甲林场购买合算；当y甲y乙时，3.8x＋2003.6x＋800，解得x3000．∴当x3000时，到乙林场购买合算，综上所述，当0≤x≤1000，或x＝3000时，两家林场购买一样；当1000x3000时，到甲林场购买合算；当x3000时，到乙林场购买合算．五、根据题设条件的多种可能性分类例6已知a、b、c为非零实数，且满足bcacabkabc，则一次函数y＝kx＋(1＋k)的图象一定经过()．(A)第一、二、三象限(B)第二、四象限(C)第一象限(D)第二象限分析一次函数y＝kx＋（1＋k）中的待定系数k隐含在一个等比的比值中，在确定比值时，尽管题中已知a、b、c均为非零实数，但仍存在a＋b＋c＝0，或a＋b＋c≠0两种情况．解当a＋b＋c＝0，即b＋c＝－a时，有k＝aa＝－1，这时一次函数为y＝－x，它的图象经过二、四象限；当a＋b＋c≠0时，k＝2，这时一次函数为y＝2x＋3，它的图象经过一、二、三象限．以上两种情况的公共部分是图象都经过第二象限，故应选D．