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两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?【例1】已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是().A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①、②都错误D.①、②都正确【解析】由于△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得△A1B1C1≌△A2B2C2故①正确;若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则∠C1=∠C2,根据相似三角形的判定定理,易得△A1B1C1∽△A2B2C2.又因为△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,所以△A1B1C1≌△A2B2C2,故②正确.【答案】D【误区纠错】在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.2.如何说明一条线段等于另两条线段之和.【例2】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1),得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:∵由(1),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】在第(2)问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.名师点拨弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.2.会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想来说明线段(或角)相等.提分策略1.全等三角形开放性问题.由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.【例1】如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是.(不添加辅助线)【解析】由已知可证∠EDC=∠BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF或(CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB).【答案】(1)添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).(2)在△BDF和△CDE中,∴△BDF≌△CDE.2.全等三角形性质与判定的综合应用.(1)解决全等三角形问题的一般思路:①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;(2)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;(3)利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.【例2】如图,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.【解析】∵△ABO与△CDO关于点O中心对称,∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC,OB=OD.∵AF=CE,∴OA－AF=OC－CE,即OF=OE.∵∠FOD=∠EOB,∴△FOD≌△EOB.∴FD=BE.专项训练一、选择题1.(2014·湖南益阳二模)如图,在正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则图中全等三角形共有().(第1题)A.1对B.2对C.3对D.4对2.(2014·江苏南京二模)在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为6,AC边的长度可以在1,3,5,7中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是().A.3B.4C.5D.63.(2013·江苏南京六合一模)如图,直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为().(第3题)A.3B.4C.5D.7二、填空题4.(2013·安徽一模)如图,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则四个结论正确的是.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①AP平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.(第4题)三、解答题(2014·山东泰安地区三模)如图,在△ABC中,D,E,F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的∠DHF与∠DEF相等吗?为什么?(第5题)6.(2014·山西大同二模)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上.(1)求证:AB⊥ED.(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.(第6题)7.(2013·浙江锦绣育才教育集团一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的关系,并证明你的猜想.(第7题)[解析]由正方形对称性知:△ABD≌△CBD;△AFD≌△CFD;△ABF≌△CBF.2.B[解析]根据三角形构成的条件知AC取1,3,5,7均可以构成△ABC,且这些三角形互不全等.3.D[解析]根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE,从而得到b的面积=a的面积+c的面积.4.①②③④[解析]首先根据角平分线上点的性质,推出①正确,然后通过求证△ARP和△ASP全等,推出②正确,再根据AQ=PQ,推出相关角相等,通过等量代换即可得∠QPA=∠PAR,即可推出③正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B,便可推出结论④正确.5.∠DHF=∠DEF.理由如下:∵AH⊥BC于点H,又D为AB的中点,∴∠DAH=∠DHA,同理可证:∠FAH=∠FHA.∴∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF,即∠DHF=∠DAF.∵E,F分别为BC,AC的中点,即EF∥AD且EF=AD.∴四边形ADEF是平行四边形.∴∠DAF=∠DEF.∴∠DHF=∠DEF.6.(1)由已知,得Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠A=∠D.∵AC⊥BD,∴∠ACD=90°.又∠DNC=∠ANP,∴∠APN=90°.∴AB⊥ED.(2)△ABC≌△DBP.理由如下:由(1),得∠A=∠D,∠BPD=∠ACB=90°.又PB=BC,∴△ABC≌△DBP.7.数量关系为BE=EC,位置关系是:BE⊥EC.理由如下:∵△AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,∴∠EAD=∠EDA=45°.∴AE=DE.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°,∠EDC=∠ADC－∠EDA=180°－45°=135°.∴∠EAB=∠EDC.∵D是AC的中点,AC=2AB,∴AD=AB=DC.∴△EAB≌△EDC.∴EB=EC,且∠AEB=∠CED.∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BEC=90°.