2015二次函数高考复习教案(经典)

高考复习之二次函数1.高考要求（1）要掌握二次函数的图象和性质，如单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用（2）能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值2.基础知识回顾（1）二次函数概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。注意：⑴与一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数）⑵等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑶abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（2）二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两根式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.例题1：请将函数f(x)=x2-4x+3由一般式化成顶点式和两根式.（3）二次函数的图形及性质对于二次函数2yaxbxc（abc，，是常数，0a）①当a０时图像特点：图像开口向上，且向上无限伸展顶点坐标：顶点为(－ab2,abac442)对称性：图像关于直线x=－ab2对称最小值：当x=－ab2时，y有最小值为abac442值域：[abac442，+∞）单调性：x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增②a０时图像特点：图像开口向下，且向下无限伸展顶点坐标：顶点为(－ab2,abac442)对称性：图像关于直线x=－ab2对称最大值：当x=－ab2时，y有最小值为abac442值域：[-∞，abac442）单调性：x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．（4）二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．当0()fx2axbxc的图像与x轴无交点20axbxc无实根20(0)axbxc的解集为或者是R;当0()fx2axbxc的图像与x轴相切20axbxc有两个相等的实根20(0)axbxc的解集为或者是R;当0()fx2axbxc的图像与x轴有两个不同的交点20axbxc有两个不等的实根20(0)axbxc的解集为(,)()或者是(,)(,)。例3.当x(1,2)时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是.3.高考考点在高考中，二次函数的考点主要包括4个方面，分别是：求二次函数的解析式、二次函数的单调性、二次函数在闭区间上的最值、恒成立问题,并且二次函数通常会结合导数、不等式、直线的方程等知识点共同考察。（1）求二次函数的解析式例4.若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程为x-y+1=0,则a=b=.例5.已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行，试求f(x)的解析式。解：设f(x)=ax2+bx+c，则f′(x)=2ax+b．∴,3)0(,2)0(,0)1(fff即.3,2,02cbba解得.3,2,1cba∴f(x)=x2-2x-3．（2）二次函数的单调性例6.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.①求f(x)的单调递减区间；②若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。解：（1）令,963)(2xxxf,31,0)(xxxf或解得所以函数)(xf的单调递减区间为).,3(),1,(（II）因为,218128)2(aaf).2()2(,2218128)2(ffaaf所以因为（－1，3）上,0)(xf所以)(xf在[－1，2]上单调递增，又由于)(xf在[－2，－1]上单调递减，因此)2(f和)1(f分别是)(xf在区间[－2，2]上的最大值和最小值..7上的最小值为]2,2[在区间)(即函数,72931)1(因此,293)(故,2解得,2022于是有23xffxxxxfaa（3）二次函数在闭区间上的最值例7.设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。解：（1）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，顶点坐标为(1，1)．当t+11，即t0时，2()=(+1)=+1gtftt当1+1tt即0≤t1时，g(t)=f(1)=1；当t≥1，函数在[t，t+1]上为增函数，g(t)=f(t)=t2-2t+2，∴g(t)=1).(t221),t(010),(t122ttt例8.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值.解f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为x＝a2，顶点为a2，－4a.①当a2≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，∴a＝－5或a＝1(舍去)．②当0a21，即0a2时，ymax＝fa2＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝54∈(0,2)．③当a2≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±12(舍去)．综上所述，a＝54或a＝－5.（4）恒成立问题例9.已知关于x的不等式220xaxa在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．（2012·福建高考文科·Ｔ15）解：开口向上的抛物线，要恒正，必须和x轴没有交点．由题意知，2()80aa，解得0＜a＜8.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；例10.若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1b＝－1.因此，f(x)＝x2x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2x＋12x＋m，即x23x＋1m0，要使此不等式在[1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x23x＋1m在[1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x23x＋1m在[1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(∞，1)．4.二次函数小结（1）扎实掌握二次函数的基本性质及最大最小值、对称轴、零点的求法（2）注意定义域（3）认真领悟二次函数与导数、不等式等知识点的结合，学会灵活变通