2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第三章第1课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3B.π6C．－π3D．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选D.因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.4．(2014·开封模拟)已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝()A.3B．±3C．－2D．－3解析：选D.依题意得cosα＝xx2＋5＝24x＜0，由此解得x＝－3，故选D.5．给出下列各函数值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)；④sin7π10cosπtan17π9，其中符号为负的是()A．①B．②C．③D．④解析：选C.sin(－1000°)＝sin80°＞0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°＞0；tan(－10)＝tan(3π－10)＜0；sin7π10cosπtan17π9＝－sin7π10tan17π9，sin7π10＞0，tan17π9＜0，∴原式＞0.二、填空题6．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，∴－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，－(k＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k＋1)·360°＋360°，其中k∈Z，所以180°－α是第四象限角．答案：四7．(2014·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形为________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα＝________.解析：因为A点纵坐标yA＝45，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.答案：－35三、解答题9．已知α＝π3.(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则β2是第几象限角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝π3＋2kπ，k∈Z}．(2)由(1)，令－4ππ3＋2kπ2π(k∈Z)，则有－2－16k1－16.又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3.(3)由(1)有β＝π3＋2kπ(k∈Z)，则β2＝π6＋kπ(k∈Z)，∴β2是第一、三象限角．10．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．[能力提升]一、选择题1．(2014·三门峡模拟)已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是()A.π2，3π4∪π，5π4B.π4，π2∪π，5π4C.π2，3π4∪5π4，3π2D.π4，π2∪3π4，π解析：选B.由已知得sinα－cosα＞0，tanα＞0，α∈[0,2π]，∴π4＜α＜5π4，0＜α＜π2或π＜α＜3π2.故α∈π4，π2∪π，5π4.2．已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析：选D.由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝－π6＋2kπ(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.二、填空题3．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4(k∈Z)，知α2是第二或第四象限角，再由sinα2＝－sinα2知sinα2≤0，所以α2只能是第四象限角．答案：四4．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(3，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．解析：设B(x，y)，依题意知OA＝OB＝2，∠BOx＝60°，且B点在第一象限，所以x＝2cos60°＝1，y＝2sin60°＝3，即B(1，3)．答案：(1，3)三、解答题5．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3l＝2或r＝1，l＝6，∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝12lr＝14l·2r≤14l＋2r22＝14×822＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.∴r＝2，∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.6．(选做题)已知角α终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，且sinα＜0，求cosα＋2tanα的值．解：设P(x，y)，则根据题意，可得|y||x|＝34.又∵sinα＜0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P位于第三象限，可设P(－4k，－3k)(k＞0)，则r＝x2＋y2＝5k，从而cosα＝xr＝－45，tanα＝yx＝34，∴cosα＋2tanα＝710.②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k＞0)，则r＝x2＋y2＝5k，从而cosα＝xr＝45，tanα＝yx＝－34，∴cosα＋2tanα＝－710.综上所述，若点P位于第三象限，则cosα＋2tanα＝710；若点P位于第四象限，则cosα＋2tanα＝－710.