2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第五章第2课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·武汉市调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d＝()A．－1B．－2C．－3D．－4解析：选C.由题意可得a1＋a1＋6d＝－8，a1＋d＝2，解得a1＝5，d＝－3，故选C.2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a5＝15，且a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75解析：选B.设数列{an}的公差为d，由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，由a1a2a3＝80，得a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，故25－d2＝16，d＝3，则a1＝2，a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝6＋99＝105.故选B.3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝()A．5B．6C．5或6D．6或7解析：选C.由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，故选C.4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{ann}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：选D.因为d0，所以an＋1an，所以p1是真命题．因为n＋1n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d0，所以p4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．638B．639C．640D．641解析：选C.由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C.二、填空题6．(2013·高考广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析：法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.答案：207．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)解析：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金．由题意，a8＋a9＋a10＝4，a1＋a2＋a3＋a4＝3，即3a1＋24d＝4，4a1＋6d＝3，解得d＝778.所以每一等人比下一等人多得778斤金．答案：7788．(2014·河南三市调研)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n5时，an0，当n≥5时，an≥0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列的公差为d，d0.由题意得，(2＋d)2＝2＋3d＋8，即d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2.故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，得an＝2n.(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)＝2＋2n·n2＋4·1－4n1－4＝n(n＋1)＋4n＋1－43.10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋n－5，又2Sn＝a2n＋n－4，两式相减得2an＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2an＋1＝a2n－1，也即(an－1)2＝a2n－1，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此数列{an}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.[能力提升]一、选择题1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S100并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为()A．{5}B．{6}C．{5,6}D．{7}解析：选C.在等差数列{an}中，由S100，S11＝0得，S10＝10a1＋a1020⇒a1＋a100⇒a5＋a60，S11＝11a1＋a112＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6，故选C.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{an}前n项和为Sn，已知(a1006－1)3＋2013(a1006－1)＝1，(a1008－1)3＋2013(a1008－1)＝－1，则()A．S2013＝2013，a1008＞a1006B．S2013＝2013，a1008＜a1006C．S2013＝－2013，a1008＞a1006D．S2013＝－2013，a1008＜a1006解析：选B.由(a1006－1)3＋2013(a1006－1)＝1①，得(a1006－1)·[(a1006－1)2＋2013]＝1，所以a1006－1＞0，即a1006＞1.由(a1008－1)3＋2013(a1008－1)＝－1②.得(a1008－1)．[(a1008－1)2＋2013]＝－1，所以a1008－1＜0，即a1008＜1，故a1008＜a1006.①＋②得(a1006－1＋a1008－1)[(a1006－1)2－(a1006－1)(a1008－1)＋(a1008－1)2]＝0，因为a1006－1＞0，a1008－1＜0，所以(a1006－1)2－(a1006－1)(a1008－1)＋(a1008－1)2＞0.故a1006－1＋a1008－1＝0，故a1006＋a1008＝2.故S2013＝20132(a1＋a2013)＝20132(a1006＋a1008)＝2013.故选B.二、填空题3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝124＋1564＝70.∵Sn＝210，Sn＝na1＋an2，∴210＝70n2，∴n＝6.答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________.解析：∵{bn}为等差数列，且b2＝－2，b7＝8，设其公差为d，∴b7－b2＝5d，即8＋2＝5d.∴d＝2.∴bn＝－2＋(n－2)×2＝2n－6.∴an＋1－an＝2n－6.由a2－a1＝2×1－6，a3－a2＝2×2－6，…，an－an－1＝2×(n－1)－6，累加得：an－a1＝2×(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n2－7n＋6，∴an＝n2－7n＋8.∴a8＝16.答案：16三、解答题5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①bn＋bn＋22≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，∴Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋9n.(2)由Sn＋Sn＋22－Sn＋1＝Sn＋2－Sn＋1－Sn＋1－Sn2＝an＋2－an＋12＝d2＝－1＜0，得Sn＋Sn＋22＜Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.而Sn＝－n2＋9n＝－n－922＋814(n∈N*)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20，即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.综上，数列{Sn}是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{an}满足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2an＋2，m)与向量b＝(－an＋5,3＋an)垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4Sn－2an－1，①a2n＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an0，an＋1－an＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝2n－1.(3)∵an＝2n－1，∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－an＋5,3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1.∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.