2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第五章第5课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·湖北三校联考)已知数列{an}为等比数列，且a4·a6＝2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5＝2a5，则S9＝()A．36B．32C．24D．22解析：选A.由a4·a6＝2a5，得a25＝2a5，即a5＝2，所以b5＝4，S9＝9b1＋b92＝9b5＝36.2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2km，此后每秒钟通过的路程增加2km，若从这一秒钟起通过240km的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟解析：选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240km的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋xx－12×2＝240，即x2＋x－240＝0，解得x＝15或x＝－16(舍去)．3．已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．35B．33C．31D．29解析：选C.由a2·a3＝a1·a4＝2a1，得a4＝2.又a4＋2a7＝52，∴a7＝14.设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a4q3，∴q3＝18，∴q＝12，a1＝16，∴S5＝16[1－125]1－12＝31.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C.∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝S1，n＝1Sn－Sn－1，n≥2，即an＝a－1，n＝1a－1an－1，n≥2.当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．5．在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于()A．6B．7C．6或7D．8解析：选C.该程序框图的实质是输出以a1＝64为首项，12为公比的等比数列{an}的前n项的乘积Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…，15)，由于a7＝1，所以在Tn(n＝1,2，…，15)中，T6＝T7且最大．二、填空题6．夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚处的温度为26℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．解析：∵每升高100米温度降低0.7℃，∴该处的温度变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，d＝－0.7.∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解之可得n＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1600(米)．答案：16007．(2014·荆州市高中毕业班质量检测)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9，即S3＋S3(1＋q3)＝2S3(1＋q3＋q6)，即S3(q3＋2q6)＝0，易知S3≠0，所以q3＋2q6＝0，得q3＝－12，故a2＋a5＝a2(1＋q3)＝2a2×14＝2a2q6＝2am，则am＝a2q6，又显然q≠1.所以m＝8.答案：88．设Sn是数列{an}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以T2nTn＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”．答案：是三、解答题9．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，∴Tn＝－12bn＋1.①∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)，②①②两式相减得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)，∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23.∴{bn}是一个以23为首项，13为公比的等比数列．10．(2014·宜昌市高三模拟)“宜昌梦，大城梦”，当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造．已知旧城区的住房总面积为64a(单位：m2)，每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为2am2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少2am2.(1)若10年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比当前的住房总面积翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？(2)设第n年(1≤n≤10，n∈N*)新区的住房总面积为Sn，求Sn.解：(1)10年后新城区的住房总面积为2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋12a＋10a＋8a＋6a＋4a＝84a.设每年旧城区拆除的数量是x，则84a＋(64a－10x)＝2×64a，解得x＝2a.即每年旧城区拆除的住房面积是2am2.(2)设第n年新城区的住房建设面积为an，则an＝2na1≤n≤4212－n5≤n≤10，所以当1≤n≤4时，Sn＝2(2n－1)a；当5≤n≤10时，Sn＝2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋…＋2(12－n)a＝30a＋n－438－2na2＝(23n－n2－46)a.故Sn＝22n－1a1≤n≤423n－n2－46a5≤n≤10.[能力提升]一、选择题1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()A．24B．32C．48D．64解析：选D.依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得an＋2an＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a2014－5＝()A．2020×2014B．2020×2013C．1010×2014D．1010×2013解析：选D.结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2，所以a2014－5＝4＋5＋…＋2016＝4×2013＋2013×20122＝2013×1010.故选D.二、填空题3．设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2014项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，故数列{bn}是周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2014项和S2014＝b1＋b2＋b3＋b4＝1－2－3－1＝－5.答案：－54．在数列{an}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列；②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a2n}是等方差数列；③{(－1)n}是等方差数列；④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．其中正确命题的序号为________．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a2n}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝n，则数列{an}是等方差数列，但数列{a2n}不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*)，则a2kn－a2kn－1＝(a2kn－a2kn－1)＋(a2kn－1－a2kn－2)＋…＋(a2kn－k＋1－a2kn－1)＝kp为常数，故④正确．答案：①③④三、解答题5．(2014·四川成都市诊断性检测)设函数f(x)＝x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*.(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；(2)设直线ln与函数g(x)＝log12x的图象相交于点Bn，记bn＝OA→n·OB→n(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：以点An－1(an－1，a2n－1)(n≥2)为切点的切线方程为y－a2n－1＝2an－1(x－an－1)．当y＝0时，得x＝12an－1，即an＝12an－1.又∵a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，12为公比的等比数列．∴通项公式为an＝(12)n－1.(2)据题意，得Bn((12)n－1，n－1)．∴bn＝OA→n·OB→n＝(14)n－1＋(14)n－1·(n－1)＝n(14)n－1.∵Sn＝1×(14)0＋2×(14)1＋…＋n×(14)n－1，14Sn＝1×(14)1＋2×(14)2＋…＋n×(14)n，两式相减，得34Sn＝1×(14)0＋1×(14)1＋…＋(14)n－1－n×(14)n＝1－14n1－14－n×(14)n.化简，得Sn＝169－(4n3＋169)×(14)n＝169－3n＋49×4n－1.6．(选做题)(2014·武汉市高三供题训练)已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)证明：①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是BnAn＝a2＋a3＋…＋an＋1a1＋a2＋…＋an＝qa1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an＝q，CnBn＝a3＋a4＋…＋an＋2a2＋a3＋…＋an＋1＝qa2＋a3＋…＋an＋1a2＋a3＋…＋an＋1＝q，即BnAn＝CnBn＝q，所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．(2)充分性：若对于任意n∈N*，三个数