2015优化方案(高考总复习)新课标湖北理科第八章第6课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·福建宁德质检)已知椭圆x2a2＋y29＝1(a0)与双曲线x24－y23＝1有相同的焦点，则a的值为()A.2B.10C．4D.34解析：选C.因为椭圆x2a2＋y29＝1(a0)与双曲线x24－y23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.2．(2014·辽宁六校联考)已知点P(2，5)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线上的一点，E，F分别是双曲线的左，右焦点，若EP→·FP→＝0，则双曲线的方程为()A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x24－y25＝1D.x25－y24＝1解析：选C.由条件易得ba＝52，且(2＋c，5)·(2－c，5)＝0，联立求得a2＝4，b2＝5.3．设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率等于()A.52B.102C.152D.5解析：选B.由|AF1|－|AF2|＝2a|AF1|＝3|AF2|⇒|AF1|＝3a|AF2|＝a，由∠F1AF2＝90°，得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(3a)2＋a2＝(2c)2，得e＝102.4．(2014·山西阳泉调研)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是()A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±3y＝0D.3x±y＝0解析：选C.易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而b2c＝14，所以b＝12c，a＝c2－b2＝32c，∴ba＝33，故该双曲线的渐近线方程是x±3y＝0.5．(2014·恩施市高三上学期期末质量检测)如图，已知双曲线的中心在坐标原点O，左焦点为F，C是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD与直线FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠ODF的余弦值是()A.77B.577C.714D.5714解析：选C.因为双曲线的离心率e＝ca＝2，则c＝2a.由c2＝a2＋b2，得b＝3a.所以tan∠DOF＝ba＝3，tan∠DFO＝bc＝32.故tan∠ODF＝tan(π－∠DOF－∠DFO)＝－tan(∠DOF＋∠DFO)＝－3＋321－3×32＝33.所以cos∠ODF＝714.二、填空题6．(2013·高考天津卷)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，∴双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝17．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为x29－y216＝1.答案：x29－y216＝18．(2014·浙江杭州调研)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1→|是|F1F2→|和|A1F2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知|PA1→|2＝|F1F2→|×|A1F2→|，即b2a2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝2.答案：2三、解答题9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x2809－y280＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0.解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x26－y26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.[能力提升]一、选择题1．(2014·黄冈市高三质量检测)设F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且点F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．5x±4y＝0D．4x±3y＝0解析：选D.由题意，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝22c2－2a2＝4b，所以由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝4b－2c＝2a.则2b－a＝c，平方得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，化简得ba＝43，故该双曲线的渐近线方程为y＝±43x，即4x±3y＝0.故选D.2．(2014·山西阳泉高三诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8解析：选B.由题意知a＝1，b＝1，c＝2，∴|F1F2|＝22，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝8，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②①－②得|PF1||PF2|＝4.二、填空题3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则PA1→＝(－1－x，－y)，PF2→＝(2－x，－y)，PA1→·PF2→＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝18，∴当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值－2.答案：－24．(2013·高考湖南卷)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝3c.又点P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(3－1)c＝2a.∴e＝ca＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题5．设A，B分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM→＋ON→＝tOD→，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝23，∴一条渐近线为y＝b23x.即bx－23y＝0.∴|bc|b2＋12＝3.∴b2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2－163x＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12.∴x0y0＝433，x2012－y203＝1，∴x0＝43，y0＝3.∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．6．(选做题)直线l：y＝3(x－2)和双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)交于A，B两点，且|AB|＝3，又l关于直线l1：y＝bax对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程．解：(1)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1过一、三象限的渐近线l1：xa－yb＝0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝3(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan30°＝ba＝33.于是e2＝c2a2＝1＋b2a2＝1＋13＝43，所以e＝233.(2)由于ba＝33，于是设双曲线方程为x23k2－y2k2＝1(k≠0)，即x2－3y2＝3k2.将y＝3(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋3|x1－x2|＝2x1＋x22－4x1x2＝2362－4×8×36＋3k28＝9－6k2＝3，求得k2＝1.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.