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[基础达标]一、选择题1．(2012·高考山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：选D.对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．2．(2013·高考辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．60解析：选B.根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．abcB．bcaC．cabD．cba解析：选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b＝15＋152＝15，众数c＝17，则abc.4．(2014·浙江杭州模拟)某商贩有600千克苹果出售，有以下两个出售方案：①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克，每千克售价1.20元；②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售价1.00元．两种出售方案的平均价格分别为x1和x2，则()A．x1x2B．x1＝x2C．x1x2D．x1与x2的大小不确定解析：选C.x1＝1600×(200×2.40＋400×1.20)＝1.60，x2＝1600×(400×2.00＋200×1.00)≈1.67，∴x1x2.5．(2014·黄冈中学高三适应性考试)右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A.25B.710C.45D.910解析：选C.记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝442＋x5，令90442＋x5，解得x8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45.选C.二、填空题6.(2014·湖南省五市十校联合检测)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为________．解析：依题意，甲班学生的平均分85＝78＋79＋85＋80＋x＋80＋92＋967，故x＝5，乙班学生成绩的中位数为83，故其成绩为76，81，81，83，91，91，96，所以y＝3，x＋y＝8.答案：87．(2014·宜昌市一中高三考前模拟)对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是________；中位数是________.解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2＋2.52＝2.25；中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，故中位数为2＋0.010.25×0.5＝2.02.答案：2.252.028．(2014·安徽省“江南十校”联考)某次摄影比赛，9位评委为某参赛作品给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分．复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x是________．解析：由茎叶图知，最高分为94，最低分为88，由题意知89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋917＝91.解得x＝1.答案：1三、解答题9．(2013·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知30n＝0.05，解得n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x′1、x′2.根据样本茎叶图可知30(x′1－x′2)＝30x′1－30x′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x′1－x′2＝0.5.故x1－x2的估计值为0.5分．10．(2014·辽宁大连调研)下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表.分组频数频率频率/组距[51.5，57.5)40.0670.011[57.5，63.5)60.10.017[63.5，69.5)110.1830.031[69.5，75.5)200.3330.056[75.5，81.5)110.1830.031[81.5，87.5)50.0830.014[87.5，93.5]30.050.008(1)作出其频率分布直方图；(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数；(3)估计每分钟脉搏跳动次数的范围．解：(1)作出频率分布直方图如图．(2)由组中值估计平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72.(3)由样本数据可求得s≈8.69，∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[x－s，x＋s]，即[63.31，80.69]，取整数即[64，81]．[能力提升]一、选择题1．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是()A．3B．4C．5D．6解析：选C.由x2－5x＋4＝0两根分别为1，4，∴有a＝1b＝4或a＝4b＝1.又a，3，5，7的平均数是b.即a＋3＋5＋74＝b，a＋154＝b，a＋15＝4b，∴a＝1b＝4符合题意，则方差s2＝5.2．(2014·黄冈中学高三适应性考试)气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选C.甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22℃，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，10.8×5－(32－26)2＝18≥(x－26)2，若x≤21，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29.二、填空题3．(2014·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正、副队长，则这2人的体重不在同一组内的概率为________．解析：体重在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a，b，c；A，B；M.从这6人中选取2人共有15种结果，其中体重不在同一组内的结果有11种．故概率P＝1115.答案：11154.(2014·武汉市武昌区联考)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34.由茎叶图知5名职工体重的平均数x＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2，10，18，26，34(2)62三、解答题5．(2014·广东省惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.(3)成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有C26＝15(种)．如果2名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为C22＋C24＝7，所以所求概率为P＝715.6．(选做题)某高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[85，95)①②[95，105)0.050[105，115)0.200[115，125)120.300[125，135)0.275[135，145)4③[145，155]0.050合计④(1)根据上面图表，求出①②③④处应填的数值；(2)在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图及折线图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129，155]中的频率．解：(1)由题意和表中数据可知，随机抽取的人数为120.300＝40.由统计知识有④处应填1，③处440＝0.100，应填0.100，②处1－0.050－0.100－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025，应填0.025，①处0.025×40＝1，应填1.(2)频率分布直方图及折线图如图．(3)利用组中值算得平均数为：90×0.025＋100×0.0