水力学2(37)

第三节相似理论基础第37讲很多水力问题单纯依靠理论分析是不能求得解答的，而有赖于试验研究。为了经济的目的和观测的方便，大多数工程试验研究都是在模型上进行的。经缩小（或放大）尺度后，模拟原型（工程实物）的流动称为模型流动。为了能用模型试验的结果去预测原型流动将要发生的现象，必须保证模型与原型流动具有相似性。相似理论就是研究相似流动之间联系的理论，是模型试验的理论基础。第五节地下水向井的恒定渗流一、流动相似的概念如果两个流动在相应点处的所有表征流动状态的相应物理量之间大小都各自成固定的比例关系，物理量是矢量时，它们相应的方向还相同，则称这两种流动是相似的。在水力学中，表征流动状态的物理量可分为三类，即描述流场几何形状、液流运动状态和液流动力特征的物理量。因此，两液流流动相似应该满足它们的几何相似、运动相似及动力相似。约定，原型中的物理量标以下标p，模型中的物理量标以下标m。下面分别讨论上述三种相似。几何相似是指两个流场的几何形状相似，即两个流场中所有相应的长度量都成固定的比例关系。若用l表示流场的特征长度量，则原型与模型两个流场的长度比尺1．几何相似lλ为mPlllλ由此可推得，相应的面积A和体积V的比尺分别为2lmPAλAAλ3lmPVλVVλ运动相似是指两个流场中各响应点处的相应运动学量之间大小都各自成固定的比例关系，如果是矢量它们相应的方向还相同。若选速度为基本量，则运动相似也可等价地表述为两液流的流速场相似，即两个流场中各相应点处的流速方向相同，大小成固定的比例。若用表示原型与模型流动的时间比尺，则其流速比尺为可见,几何相似是以基本量长度的比尺表征的,只要保持两个流动各相应的长度比尺都相等,便保征了两个流动的几何相似.lλ2．运动相似mPtttλtlmmPPmPuλλtLtLuuλ因为相应的流速大小成比例，则相应断面的平均流速也应有同样的比尺，即tlumPmPvλλλuuvvλ在相似流动中，几何相似和运动相似分别规定了基本量长度的比尺和流速的比尺所以运动相似中的其它运动学量(如时间、加速度、角速度、运动粘度等)的比尺也可由和表示。例如，时间比尺可由上式确定加速度比尺可表示为3．动力相似lλvλlλvλtλl2vvlvtvmmppmpaλλλλλλλtvtvaaλ动力相似是指两个流场中各相应点处的相应动力学量之间大小都各自成固定的比例关系，如果是矢量它们相应的方向还相同。若选力为基本量，则动力相似也可等价地表述为：两流场中各相应点处相同物理性质的力（简称同名力）方向相同，大小成固定的比例。一般影响液体运动的作用力主要有粘滞力T、重力G、压力P、有时还要考虑弹性力E和表面张力S等。若设这些力的合力为F，则根据动力相似的要求在原型与模型相应点处应有在水力学中，规定了包含三个基本量纲[L]、[M]、[T]在内的三个基本量比尺，即长度比尺、流速比尺和力的比尺mPmPmPmPmPSSPPGGTTFFSPGTFλλλλλ即lλvλFλ后，其它动力学量（如质量、密度、动量等）的比尺以及几何学量、运动学量的比尺也都可以由这三个基本量的比尺来表示，所以两个流动就必然是相似的。上述这三种相似是两液流保持流动相似的特征和属性.显然,这三种相似是相互联系的。流场的几何形状相似（既几何相似）是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定运动相似的主导因素，是实际运动相似的保证；运动相似则是几何相似和动力相似的表现，是实现两个流动相似的目的。二、相似准则两个流动相似的液流，它们各项比尺之间所遵从的约束关系称为相似准则。相似准则是模型设计与试验的基本依据。以上是恒定流相似概念。在非恒定流中，流动相似还应包括两个液流的初始条件相似。设作用在质量为m的液体质点上的合力为F，则由牛顿第二定律可得maF根据达朗贝尔原理，设想在该质点上加惯性力I=-ma,则惯性力与质点受到的合外力相平衡，即0IF如果原型与模型流动相似，则Ne是表征液体质点受到的合力外与惯性力之比的无量纲量，称为牛顿数。则2m2mm2P2PPmm3mmPP3PPmmPPmPmPvlpvlptvlptvlpamamIIFF2m2mmm2P2PPPvlρFvlρF或若令22vρlFNemp(Ne)(Ne)若用比尺表示，则1vmtFv3LpvlF2v2lpFλλλλλλλλλλλλλλ式中称为相似判据vmtFλλλλ两个流动相似的液流，它们相应的点处的牛顿数应相等或相似判据为1，这是流动相似的重要标志，是判别两液流相似的一般准则，称为牛顿相似准则。在牛顿数中，F是作用于液体质点上各种同名力的合力，所以要使两个液流满足牛顿相似准则，同样要求两流场中作用在相应质点上的各种同名力与惯性力之间有相同的比值。一般情况下，液流的弹性力和表面张力可以忽略，所以作用在液流上的力主要就是粘滞力、重力和动水压力。下面分别讨论这三项力作用的相似准则。1．粘滞力相似准则根据粘滞力的表达式其大小可用dyduμATμlvlvμl2来衡量，用它取代中的F项得，粘滞力与惯性力之比的关系为22vρlFNe上式表明，如果两液流粘滞力相似，则它们相应点处的雷诺数相等；反之，如果雷诺数相等，则两液流粘滞力相似。这就是粘滞力相似准则，又称雷诺准则。上式也可用比尺关系表示为lvρlvvρllvvρlT2222lν为一无量纲量，其倒数就是液流的雷诺数Re，即lvRe则原型与模型液流粘滞力相似的条件是mmmPPPvlvl或mP(Re)(Re)1λλλvl显然,雷诺数的物理意义是液流受到的惯性力与粘滞力之比。重力G的大小可用2．重力相似准则上式表明，如果两液流重力相似，则它们相应点处的佛汝德数相等；反之，如果佛汝德数相等，则两液流重力相似。这就是重力相似准则，又称佛汝德准则。3ρgl来衡量,用它取代式中的F项得重力与惯性力之比的关系为22vρlFNe233322vglvρlρglvρlG2vgl为一无量纲量，其倒数就是液流的佛汝德数，即则原型与模型液流重力相似的条件是mm2mPP2Plgvlgv或mpFrFr上式也可用比尺关系表示为1lg2vλλλ显然，佛汝德数的物理意义是液流受到的惯性力与重力之比。3．压力相似准则压力P的大小可用pl2来表示，用它取代式中F项得，压力与惯性力之比的关系为22vρlFNe222222ρvpvρlplvρlP2ρvp为一无量纲量，称为欧拉数，以Eu表示。则原型与模型液流压力相似的的条件是2mmm2PPPvρpvρp或mp(Eu)(Eu)上式表明，如果两液流压力相似，则它们相应点处的欧拉数相等；反之，如果欧拉数相等，则两液流压力相似。这就是压力相似准则，又称欧拉准则。上式也可用比尺关系表示为欧拉数中的动水压强p也常用动水压强差Δp代替，则欧拉数也可表示为2ρvΔpEu12vpλρλλ显然，欧拉数的物理意义是液流受到的压力与惯性力之比。可见，当作用在液流上的力是粘滞力、重力和动水压力时，则两液流动力相似的条件是，它们的雷诺数、佛汝德数和欧拉数应同时相等。液体质点受到的合外力与惯性力相平衡，等价于上述三个作用力与惯性力在形式上可以构成一个封闭的力多边形。从这个意义讲，两液流动力相似，就是两流场中相应点处的两个这种封闭的力多边形相似。这时，只要惯性力和三个作用力中的两个力的对应边各自成比例（即相似），另一个作用力的对应边必然会自动相似。所以，上述三个相似准则，只有两个是独立的，另一个则可由其它两个导出。通常动水压力是待求量，因此一般将雷诺准则和佛汝德准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。第四节模型试验模型试验是依据相似原理，制成和原型相似的模型进行试验研究，并以试验结果预测出原型将会发生的液流现象。一、相似准则的选择根据以上的讨论可知,为了使模型和原型流动完全相似,在满足几何相似的基础上,它们各独立的相似准则应同时满足.但由于影响各种同名力的物理因素不同,实际上要同时满足各项准则是很困难的，甚至是不可能的。在具体流动中，起主导作用的力往往只有一种，因此在模型试验中，只要让这种力满足相似条件即可。这种相似虽然是近似的，但实践证明，结果是令人满意的。例如有压管流，当其流速不大时，粘滞力对液流影响起主要作用，可采用雷诺准则设模型。随着雷诺数的增大，管流进入紊流过度区时，沿程阻力系数此时因模型与原型壁面相对粗糙度的相似是几何相似的必然要求，所以按阻力相似条件，仍可采用雷诺准则设计模型。当雷诺数足够大，管流进入紊流粗糙区时，)dΔf(Re,λdΔ)dΔf(λ此时只要保证模型液流也处于紊流粗糙区，则模型与原型管流可不要求雷诺数相等，它们可在几何相似的条件下自动实现阻力相似。所以，紊流粗糙又称为自模区。堰坝溢流、闸孔出流、桥墩绕流等短流程的明渠流动，重力是主导作用力，可按佛汝德准则设模型。长流程的明渠流，虽然重力和阻力都是主要作用力，但工程中的明渠流，绝大多数都处于自模区，在两液流几何相似的条件下，阻力是自动相似的，故也可直接采用佛汝德准则设计模型。但在水面平稳、流动极慢的层流明渠流中，仍需采用雷诺准则设计模型。二、模型的设计模型设计首先应满足几何相似的前提.几何相似的比尺λl一般可根据试验场地、模型制做和量测条件确定,并且在不影响试验结果正确性的前提下,为了经济的目的,模型宜做得小一些,即长度比尺λl可选得大一些.几何相似包括液流边界条件的相似.实际上,有时完全的几何相似是不容易达到的.例如,在几何比尺较大的小模型中,模型的壁面当量粗糙度(或nm)往往作不到按比尺λlmΔ缩小。又如，河流的模型，由于试验场地的限制，其水平方向和竖直方向的长度比尺若采用同一值，会使模型河流的水深很浅和底坡很小，从而会突出水流的表面张力影响和使水流流速过小而变为层流。在这种情况下，一般采用变态模型（即在空间三个方向的长度比尺不同的模型）来设计，从而保证模型内的有关参数及边界条件的满足。长度比尺确定后，就要根据起主导作用的力选用相应的相似准则进一步确定模型的其它各种比尺。采用雷诺准则时，原型与模型液流的雷诺数相等，可根据式确定长度比尺λl与其它比尺的关系;采用佛汝德准则时，原型与模型液流的佛汝德数相等，可根据式确定长度比尺λl与其它比尺的关系.1λλλvl1lg2vλλλ例如，按雷诺准则设计模型时，如果模型与原型中的液流为同种且温度相同的液体，即运动粘滞系数的比尺则又如，按佛汝德准则准则设计模型时，如果模型与原型液流均在地球上，即则按雷诺准则和佛汝德准则导出的各物理量比尺的关系见下表1λlvλλ1l2lvQλλλλ1λg21lvλλ2.5l2lvQλλλλ比尺比尺雷诺准则佛汝德准则雷诺准则佛汝德准则名称111g名称111g长度比尺l流速比尺v加速度比尺a流量比尺Q时间比尺tl1l3ll2ll1l3ll21ll21l125l21l力的比尺F压强比尺p功能比尺W功率比尺N2ll1l222ll213l3ll4l27l雷诺准则和佛汝德准则的常用比尺关系【例11-3】已知某废水处理稳定池的设计宽度bp=25m,长度lp=50m,池中水温为20C,初步拟定水在池中的水力停留时间tp=7.5天(定义为池的容积与流量之比).为研究废水处理效果,需在模型中进行试验研究.若选用的长度比尺λl=10,(1)试设计模型池的尺寸;(2)求水在模型池中的流速vm和水力停留时间tm。【解】（1）模型池的尺寸可直接根据长度比尺λl=10确定模型池长度5m1050lPmλλl模型池宽度2.5m1025lPmλbb模型池水深0.2m102lPmλhh（2）计算模型池中的流速vm和水力停留时间tm查表得20C水的运动粘滞系数/sm101.00726P原型池的水力半径为1.724