2015创新设计二轮专题复习配套专题训练123

第3讲平面向量一、选择题1．(2014·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()．A．－92B．0C．3D．152解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.答案C2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若CM→＝－2CA→＋λCB→，则λ＝()．A．1B．2C．3D．4解析由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案C3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()．A.12，12B．23，23C.13，13D．23，12解析由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则AF→＝23AH→＝23×12(AB→＋AC→)＝13a＋13b，所以x＝13，y＝13.答案C4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且OA→·OC→＝1，则AB→·AC→等于()．A．－1B．1C.2D．3解析依题意，|OA→|＝|OC→|＝|AB→|＝2，OA→·OC→＝|OA→||OC→|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝12，∠AOC＝π3，则|AC→|＝|OA→|＝|OC→|＝2，∠BAC＝π3，AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC＝1.答案B5．(2014·浙江卷)记max{x，y}＝x，x≥y，y，xy，min{x，y}＝y，x≥y，x，xy，设a，b为平面向量，则()．A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.答案D二、填空题6．(2014·山东卷)在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．解析由A＝π6，AB→·AC→＝tanA，得|AB→|·|AC→|·cosA＝tanA，即|AB→|·|AC→|×32＝33，∴|AB→|·|AC→|＝23，∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|·sinA＝12×23×12＝16.答案167.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A(3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由BM→＝2MA→，得x＝23－x，y－3＝－2y，解得x＝2，y＝1，即M点坐标为(2,1)，所以CM→·CB→＝(2,1)·(0,3)＝3.法二CM→·CB→＝(CB→＋BM→)·CB→＝CB→2＋CB→×23BA→＝CB→2＋23CB→·(CA→－CB→)＝13CB→2＝3.答案38．(2014·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA→·OB→＝6，则|OG→|的最小值是________．解析如图，在△AOB中，OG→＝23OE→＝23×12(OA→＋OB→)＝13(OA→＋OB→)，又OA→·OB→＝|OA→||OB→|·cos60°＝6，∴|OA→||OB→|＝12，∴|OG→|2＝19(OA→＋OB→)2＝19(|OA→|2＋|OB→|2＋2OA→·OB→)＝19(|OA→|2＋|OB→|2＋12)≥19×2|OA→||OB→|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA→|＝|OB→|时取等号)．∴|OG→|≥2，故|OG→|的最小值是2.答案2三、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝2，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0απ，得0π－απ，又0βπ，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求sinx＋cosx3sinx－2cosx的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，3c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求fB＋π8的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－13，∴sinx＋cosx3sinx－2cosx＝tanx＋13tanx－2＝－13＋13×－13－2＝－29.(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得3sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3，于是π6Bπ2.∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)＝sin2x＋sinxcosx－2＝1－cos2x2＋12sin2x－2＝22sin2x－π4－32，∴fB＋π8＝22sin2B＋π8－π4－32＝22sin2B－32.由π6Bπ2，得π32Bπ，∴0sin2B≤1，－3222sin2B－32≤22－32，即f(B＋π8)∈－32，22－32.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)法一∵PA→＋PB→＋PC→＝0，又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，即OP→＝(2,2)，故|OP→|＝22.法二∵PA→＋PB→＋PC→＝0，则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，∴OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2,2)，∴|OP→|＝22.(2)∵OP→＝mAB→＋nAC→，∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.