2015创新设计(高中理科数学)题组训练4-1

第1讲平面向量的概念及其线性运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()．A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→解析由图可知EF→＝OF→－OE→.答案B2.(2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→等于()．A．0B.BE→C.AD→D.CF→解析因为ABCDEF是正六边形，故BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→.答案D3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案A4．(2014·开封模拟)下列命题中，正确的是()．A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．若ka＝0，则k＝0或a＝0D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|解析对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C.答案C5．(2014·兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为()．A.15B.25C.35D.45解析设AB的中点为D，由5AM→＝AB→＋3AC→，得3AM→－3AC→＝2AD→－2AM→，即3CM→＝2MD→.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD→＝35CD→，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为35，选C.答案C二、填空题6．(2014·湖州月考)给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．解析①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析由AN→＝3NC→，得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，AM→＝a＋12b，所以MN→＝AN→－AM→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案－14a＋14b8．(2014·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.即2＝2λ，p＝－λ，∴p＝－1.答案－1三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.解AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b；AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，AB→＝OB→－OA→＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC→＝λAB→.即－23a＋13b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有－23＝－λ，13＝λt⇒λ＝23，t＝12.∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则12OA→＋12OB→＝OM→，∴OP→＝13(OM→＋2OC→)＝13OM→＋23OC→，即3OP→＝OM→＋2OC→，也就是MP→＝2PC→，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则实数x的取值范围是()．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析设BO→＝λBC→(λ＞1)，则AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋λBC→＝(1－λ)AB→＋λAC→，又AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，所以xAB→＋(1－x)AC→＝(1－λ)AB→＋λAC→.所以λ＝1－x＞1，得x＜0.答案A二、填空题3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．解析OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形三、解答题4.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.解AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋λBE→＝AB→＋λ2(BA→＋BC→)＝1－λ2AB→＋λ2(AC→－AB→)＝(1－λ)AB→＋λ2AC→＝(1－λ)a＋λ2b.又AG→＝AC→＋CG→＝AC→＋mCF→＝AC→＋m2(CA→＋CB→)＝(1－m)AC→＋m2AB→＝m2a＋(1－m)b，∴1－λ＝m2，1－m＝λ2，解得λ＝m＝23，∴AG→＝13a＋13b.