2015创新设计(高中理科数学)题组训练8-6

第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．42B．83C．24D．48解析由|PF1|－|PF2|＝2，3|PF1|＝4|PF2|，可解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.答案C2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：x2sin2θ－y2cos2θ＝1与C2：y2cos2θ－x2sin2θ＝1的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析∵0＜θ＜π4，∴sinθ＜cosθ.由双曲线C1：x2sin2θ－y2cos2θ＝1知实轴长为2sinθ，虚轴长为2cosθ，焦距为2，离心率为1sinθ.由双曲线C2：y2cos2θ－x2sin2θ＝1知实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为1cosθ.答案D3．(2014·日照二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()．A.x25－y220＝1B.x225－y220＝1C.x220－y25＝1D.x220－y225＝1解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝ca＝5，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案A4．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()．A．m＞12B．m≥1C．m＞1D．m＞2解析在双曲线x2－y2m＝1中，a＝1，b＝m，则c＝1＋m，离心率e＝ca＝1＋m1＞2，解得m＞1.答案C5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()．A.32B.52C.352D.52解析不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝bax，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc|b2＋a2＝53c，即b＝53c，从而b2＝59c2＝c2－a2，所以49c2＝a2，即e2＝94，所以离心率e＝32.答案A二、填空题6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．解析由已知，得a＝1，c＝5.∴e＝ca＝5.答案57．(2014·广州一模)已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析由题意得c＝13，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为x29－y24＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.答案2x±3y＝08．(2014·武汉诊断)已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y2n－x2m＝1的焦距等于4，则n＝________.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为y2－3m－x2－m＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为y2n＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案5三、解答题9．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴|5a|b2＋a2＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则a－m＝4，7·13a＝3·13m.解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213，∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝102＋42－21322×10×4＝45.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·焦作二模)直线y＝3x与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于()．A.3＋2B.3＋1C.2＋1D．22解析由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝3c，由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝3c－c＝2a，∴e＝ca＝3＋1.答案B2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(2，2)C．(3，2)D．(2,3)解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEFπ4即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝b4a2，取点A－c，b2a，则|AF|＝b2a，|EF|＝a＋c，只要|AF||EF|就能使∠AEFπ4，即b2aa＋c，即b2a2＋ac，即c2－ac－2a20，即e2－e－20，即－1e2.又e1，故1e2.答案A二、填空题3.如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1S2＝________.解析(1)由△B2OF2的面积可得ab2＋c2＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝3＋52，∴e＝1＋52.(2)设∠B2F1O＝θ，则sinθ＝bb2＋c2，cosθ＝cb2＋c2，S1S2＝2bc4a2sinθcosθ＝2bc4a2bcb2＋c2＝b2＋c22a2＝e2－12＝2＋52.答案(1)1＋52(2)2＋52三、解答题4．(2014·湛江二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解(1)∵双曲线的渐近线为y＝±bax，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为x22－y22＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足y0x0·(－3)＝－1，∴x0＝3y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程，得3y20＋y20＝c2，即y0＝12c，∴x0＝32c，∴点A的坐标为32c，c2，代入双曲线方程，得34c2a2－14c2b2＝1，即34b2c2－14a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得34c4－2a2c2＋a4＝0，∴3ca4－8ca2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝2.∴双曲线的离心率为2.