2015创新设计二轮专题复习配套-专题训练1-4-1

专题四立体几何第1讲立体几何的基本问题(计算与位置关系)一、选择题1．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()．A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.答案D2．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．54B．60C．66D．72解析还原为如图所示的直观图，S表＝S△ABC＋S△DEF＋S矩形ACFD＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60.答案B3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．A.233B.476C．6D．7解析如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案A4．(2014·潍坊一模)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()．A.32πB.32πC．3πD．12π解析如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝2，SC＝3，所以球的半径R＝32，所以球的表面积为4π×322＝3π.答案C二、填空题5．(2014·金丽衢十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223.答案2236．(2014·山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析设棱锥的高为h，则V＝13×S底·h＝13×6×34×22×h＝23，∴h＝1，由勾股定理知，侧棱长为22＋1＝5，∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为52－12＝2，∴S侧＝12×2×2×6＝12.答案127．(2014·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为________．解析由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为3，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．所以，S＝12×12×2π×1×2＋12×π×12＋12×2×3＝3π2＋3.答案3＋3π28．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝16V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案①②③三、解答题9.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，DE∩CD＝D，所以A1F⊥平面BCDE.又∵BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.10．(2014·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝32.所以VC－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312，VF－ABCD＝13S矩形ABCD×EE1＝13×2×1×32＝33，所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝5312.11．(2014·衡水调研考试)如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求棱锥E－DFC的体积；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由．解(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB.又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF.(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.取CD的中点M，这时EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，EM＝1.VE－DFC＝13×12S△BDC×EM＝33.(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.证明如下：在线段BC上取点P，使BP＝BC3，过P作PQ⊥CD于Q.∵AD⊥平面BCD，PQ⊂平面BCD，∴AD⊥PQ.又∵AD∩CD＝D，∴PQ⊥平面ACD，∴DQ＝DC3＝233，∴tan∠DAQ＝DQAD＝2332＝33，∴∠DAQ＝30°，在等边△ADE中，∠DAQ＝30°，∴AQ⊥DE，∵PQ⊥平面ACD，DE⊂平面ACD，∴PQ⊥DE，AQ∩PQ＝Q，∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE.此时BP＝BC3，∴BPBC＝13.