2004—数二真题标准答案及解析

梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-1-页共25页2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1nnxfxnx,则()fx的间断点为x.（2）设函数()yx由参数方程333131xttytt确定,则曲线()yyx向上凸的x取值范围为____..（3）121dxxx_____..（4）设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定,则3zzxy______.（5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为_______.（6）设矩阵210120001A,矩阵B满足2ABABAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0x时的无穷小量20cosxtdt,20tanxtdt,30sinxtdt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）,,.（B）,,.（C）,,.（D）,,.（8）设()(1)fxxx,则（A）0x是()fx的极值点,但(0,0)不是曲线()yfx的拐点.（B）0x不是()fx的极值点,但(0,0)是曲线()yfx的拐点.（C）0x是()fx的极值点,且(0,0)是曲线()yfx的拐点.（D）0x不是()fx的极值点,(0,0)也不是曲线()yfx的拐点.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-2-页共25页（9）22212limln(1)(1)(1)nnnnnn等于（A）221lnxdx.（B）212lnxdx.（C）212ln(1)xdx.（D）221ln(1)xdx（10）设函数()fx连续,且(0)0f,则存在0,使得（A）()fx在(0,)内单调增加.（B）()fx在(,0)内单调减小.（C）对任意的(0,)x有()(0)fxf.（D）对任意的(,0)x有()(0)fxf.（11）微分方程21sinyyxx的特解形式可设为（A）2(sincos)yaxbxcxAxBx.（B）2(sincos)yxaxbxcAxBx.（C）2sinyaxbxcAx.（D）2cosyaxbxcAx（12）设函数()fu连续,区域22(,)2Dxyxyy,则()Dfxydxdy等于（A）221111()xxdxfxydy.（B）222002()yydyfxydx.（C）2sin200(sincos)dfrdr.（D）2sin200(sincos)dfrrdr（13）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-3-页共25页（A）010100101.（B）010101001.（C）010100011.（D）011100001.（14）设A,B为满足0AB的任意两个非零矩阵,则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限3012coslim13xxxx.（16）（本题满分10分）设函数()fx在（,）上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)fxxx,若对任意的x都满足()(2)fxkfx,其中k为常数.(Ⅰ)写出()fx在[2,0]上的表达式;(Ⅱ)问k为何值时,()fx在0x处可导.（17）（本题满分11分）设2()sinxxfxtdt,(Ⅰ)证明()fx是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求()fx的值域.（18）（本题满分12分）曲线2xxeey与直线0,(0)xxtt及0y围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为()Vt,侧面积为()St,在xt处的底面积为()Ft.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-4-页共25页(Ⅰ)求()()StVt的值;(Ⅱ)计算极限()lim()tStFt.（19）（本题满分12分）设2eabe,证明2224lnln()babae.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,/kmh表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyzfxye,其中f具有连续二阶偏导数,求2,,zzzxyxy.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,axxxxxaxxxxxaxxxxxax试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-5-页共25页2004年考硕数学（二）真题评注一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1nnxfxnx,则()fx的间断点为x0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出()fx的表达式,再讨论()fx的间断点.【详解】显然当0x时,()0fx;当0x时,2221(1)(1)1()limlim11nnxnxxnfxnxxxxn,所以()fx0,01,0xxx,因为001lim()lim(0)xxfxfx故0x为()fx的间断点.（2）设函数()yx由参数方程333131xttytt确定,则曲线()yyx向上凸的x取值范围为1（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由()()xxtyyt定义的223()()()()(())dyytxtxtytdxxt求出二阶导数,再由220dydx确定x的取值范围.【详解】22222331213311dydyttdtdxdxtttdt,222223214113(1)3(1)dyddydttdtdxdxdxttt,令220dydx0t.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-6-页共25页又331xtt单调增,在0t时,(,1)x.(0t时，1xx(,1]时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）121dxxx2.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】221002sectansecsectan21dxttxtdtdtttxx.【详解2】01120110222111()arcsin21111dxtxdtdttttxxtt.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定,则3zzxy2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在232xzzey的两边分别对x,y求偏导,z为,xy的函数.23(23)xzzzexx,23(3)2xzzzeyy,从而2323213xzxzzexe,23213xzzye所以2323132213xzxzzzexye【详解2】令23(,,)20xzFxyzeyz则232xzFex,2Fy,23(3)1xzFez梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-7-页共25页2323232322(13)13xzxzxzxzFzeexFxeez,232322(13)13xzxzFzyFyeez,从而232323313221313xzxzxzzzexyee【详解3】利用全微分公式,得23(23)2xzdzedxdzdy2323223xzxzedxdyedz2323(13)22xzxzedzedxdy232323221313xzxzxzedzdxdyee即2323213xzxzzexe,23213xzzye从而32zzxy【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为315yxx.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为21122dyyxdxx,先求齐次方程102dyydxx的通解:12dydxyx积分得1lnlnln2yxcycx梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-8-页共25页设()ycxx为非齐次方程的通解,代入方程得2111()()()222cxxcxcxxxxx从而321()2cxx,积分得352211()25cxxdxCxC,于是非齐次方程的通解为53211()55yxxCCxx1615xyC,故所求通解为315yxx.【详解2】原方程变形为21122dyyxdxx,由一阶线性方程通解公式得1122212dxdxxxyexedxC11lnln22212xxexedxC35221125xxdxCxxC6(1)15yC,从而所求的解为315yxx.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A,矩阵B满足2ABABAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B19.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-9-页共25页【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】2ABABAE2ABABAE,(2)AEBAE,21AEBAE,221111010(1)(1)392100001BAEAA.【详解2】由1AAA,得11122ABABAEABAABAAAA