2016暑期综合实训编程实验问题

综合编程实验问题第一章常微分方程问题求解第1节ODE45求解初值问题1.基于数学建模中的传染病模型，应用ODE45求解传染病SIR问题，在同一图中画出i(t)和s(t)随t变化的曲线。对于不同的初始条件，在相平面中画出三条相轨线。2.基于数学建模中的种群竞争模型，种群依存模型和食饵捕食模型，应用ODE45求解模型，在时间空间和相平面上画出种群变化的图像，分析稳定点的稳定性。第2节编程计算ODE初值问题1。编一个用Euler方法解atuTttutfu)(),,(00'的程序，使之使用于任意右端函数f，任意步长h和任意区间],[0Tt。用16/1,8/1,4/1h分别计算初值问题0666666.0151)0()4,0(,2'utuuu在结点)16,...,1,0(4/ii打印出问题的精确解（真解为)16/()(tteetu。计算近近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）2.编一个与上题同样要求的改进Euler法的计算程序，1mu的初值用Euler方法提供，迭代步数s为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个绍果加以比较。3。编一个程序用Taylor级数法求解问题1)0(10,'uttuu取Taylor级数法的截断误差为)(21hO，即要用)(),...,(),()20('tututu的值[提示：可用一个简单的递推公式来获得,...]3,1),()(ntun4。用四阶古典KuttaRunge方法（或其他精度不低于四阶的方法），对0x时的标准正态分布函数xdtexxt0,2121)(022产生一张在]5,0[之间的80个等距结点（即16/1h）处的函数值表。[提示:寻找一个以)(x为解的初值问题］。5。（一个“刚性”的微分方程）用四阶KuttaRunge方法解初值问题：0)0(30,1511102'utttuu取8/1h。每隔8步打印出数值解与真解的值（tttu2/)(2），画出它们的大致图象，并对产生的结果作出解释。[提示:当初值)0(u时，方程的真解为tteuttC220]6.分别用Adams二步和四步外插公式，用16/1h求解。1)0(30,17482'utttuu将计算结果与真解ttetut2/)(28进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。7。用Adams二步内插公式预测、Adams四步外插公式校正一次的预-校算法重新求解上题的方程、将结果与上题作比较．并解释产生差异的原因。8。对（1.3）式所示的Lotka-Volterra“弱肉强食’模型，令]5,0[,3,1,2,4tkdlekr，5,300yx，即ttyxyxytyxyxtx0,5)0(,3)0(3)(24)(''（l）取6/1h，用任过一种精度不低于三阶的办法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出)(),(tytx的图像及y关于x的图像。（2）对5.2,2,5.1,1)0(y解这同一个模型．分别画出y关于x的函数图象。（3）讨论所获得的结果并分析原因。[提示:注意xy平面上的点（3，2）、它被称为平衡点)第3节常微分方程边值问题1.调用函数bvp4c求解MATLAB的的5个例子，分析把高阶方程变为等价的一阶方程组的方法，剖析程序，总结编程求解过程。2.取64/1h和128/1h，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确解比较（1）5.0)1(,1)0(10,)1(1)1(222uuxxuxdxud，精确解：xu11（2）3)(,2)0(0,sin322xxeuuxxeudxdudxud，精确解：u精确解：xeuxcos3。（3）)(,0)0(0,cos222uuxxxxudxduxdxud，精确解：xxusin2并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有此小的原因。§5数值方法（英文版）习题和实验项目（ODE数值解，9.1.3习题）16．考虑一阶微分方程)t(q)t(y)t(p)t(y'证明：一般解)t(y可用两个特殊积分求出。首先定义)t(F如下：dt)t(pe)t(F然后，定义)t(y为Cdt)t(q)t(F)t(F1)t(Y提示：对乘积)t(y)t(F求导。17．考虑放射物的衰减。如果)t(y是t时刻放射物的量，则)t(y将逐渐减少。实验表明，)t(y的变化率与未衰减物质的量成正比。于是放射物衰减的初值问题为0'y)0(y,kyy(a)证明其解为kt0ey)t(y。(b)放射物质的半衰期是初始物质衰减一半所需的时间，14C的半衰期是5730年。请给出求t时刻14C的量的公式)t(y。提示：求k使得0y5.0)5730(y.(c)分析一块木头后知，其中的14C的量是树木活着时的0.712，该木头样本的年代有多久?(d)在某个时刻，一种放射物质的量为10mg，23s之后，该物质只剩1mgg。该物质的半衰期为多少t在习题18和习题19中，推导初值问题的方程并求解。18·一个新的职业足球联赛的年度售票量计划以正比于t时刻的销售量和上限3亿美元之差的速度增长。假设最初的年售票量为0美元，并且必须在3年后达到4000万美元(否则联赛取消)。基于这些假设，年销售量需要多久能达到2200万美元?19．一个新图书馆的内部容量为5百万立方英尺。通风系统以每分钟4．5万立方英尺的速度引入新鲜空气。在通风系统打开之前，图书馆内部的二氧化碳和外面新鲜空气中的二氧化碳量分别为0.4％和0.5％。求通风系统打开2小时之后图书馆中的二氧化碳百分比.9.2欧拉方法7．汪明当用欧拉方法求解]b,a[上的初值问题0y)a(y),t(fy0'时，结果为1M1kkh)t(f)b(y，它是逼近区间]b,a[上)t(f的定积分的黎曼(Riemann)和。8．说明欧拉方法不能求初值问题：0)0(y,y5.1)y,t(fy3/1'的近似解2/3t)t(y。证明你的结论，其中遇到了什么困难?9．能用欧拉方法求解[0，3]上的初值问题0)0(y,y1y2'吗?提示：精确解为)ttan()t(y。p-7·指数种群增长。某一种群以正比于当前数量的速度增长，且遵循[O，5]上的初值问题5000)0(y,y02.0y'(a)应用公式(10)，求出y(5)的欧拉逼近，步长为h=1，h=1/12和h=1/360.(b)(a)中当h趋下0时的极限是什么?p-8.一名跳伞运动员自飞机上跳下，降落伞打开之前的空气阻力正比于2/3v(v为速度)。设时间区间为[O，6]，向下方向的微分方程为0)0(v,v032.032v2/3'用欧拉方法和h=0.05估计中v(6)的值。p-9．流行病模型。流行病的数学模型描述如下：设有L个成员的构成的群落，其中有P个感染个体，Q为未感染个体。令)t(y)表示时刻t感染个体的数量。对于温和的疾病，如普通感冒，每个个体保持存活，流行病从感染者传播到未感染者。由于两组问有PQ种可能的接触，)t(y的变化率正比于PQ。故该问题可以描述为初值问题：0'y)0(y),yL(kyy(a)用L=25000，t=0.00003，h=0.2和初值条件，250)0(y，并用程序9.1计算[0，60]上的欧拉近似解。(b)画出(a)中的近似解。(c)通过求(a)中欧拉方法的纵坐标平均值来估计平均感染个体的数目。(d)通过用曲线拟合(a)中的数据，并用定理1．10(积分均值定理)，估计平均感染个体的数目。P-10考虑一阶积分-常微分方程t02'd)(yy0001.0y25.0y3.1y(a)在区间[O，20]上，用欧拉方法和h=0.2，y(0)=250以及梯形公式求方程的近似解。提示：欧拉方法的一般迭代公式为)d)(y.0001y0y25.0y3.1(hyykt0k2kkk1k如果梯形公式用于逼近积分，则该表达式为))h(T.0001y0y25.0y3.1(hyykk2kkk1k其中0)h(T0，且)yy(2h)h(T)h(Tk1k1kk，99,...,1,0k(b)用初值y(O)=200和y(O)=300重复(a)的计算。(c)在同一坐标系中画出(a)和(b)的近似解：13．捕食者-被捕食者模型。非线性微分方程的一个例子是捕食者-被捕食者模型。设x(t)和y(t)分别表示兔子和狐狸在时刻t的数量，捕食者-被捕食者模型表明，)t(x和)t(y满足)t(Dy)t(y)t(Cx)t(y)t(y)t(Bx)t(Ax)t(x''一个典型的计算机模拟可使用系数A=2，B=0.02，C=0.0002．D=0.8如果(a)x(O)=3000只兔子，y(0)=120只狐狸．(b)x(0)=5000只兔子，y(0)=100只狐狸．在区间[0，5]上用M=50步和h=0.2求解。§6caseStudyODEProblems1.Therateofchangeoftheconcentrationofpollutioninalakeisequaltothedifferencebetweentheconcentrationofpollutedwaterenteringthelakeandthatleavingthelake.AssumethatwatercontainingaconstantconcentrationofCkg/km3ofpollutantsentersthelakeatarateof150km3/year,andwaterleavesthelakeatthesamerate.Alsoassumethatthevolumeofthelakeremainsconstantat5000km3.(a)Formulateamathematicalmodeltorepresenttherateofchangeofconcentrationofpollutioninthelake.Findamathematicalsolution.(b)Iftheinitialconcentrationofpollutionis40kg/km3,findtheparticularsolutiontotheproblem.(c)Thefastestpossiblecleanupofthelakewilloccurifallpollutioninflowceases.ThisisrepresentedbyC=0.Ifallpollutionintothelakewasstoppedimmediately,howlongwouldittaketoreducepollutionto50%ofitscurrentvalue?(d)Usethecomputertographyoursolutionforthefirst100yearsafterpollutionstops.Whathappenstotheconcentrationastimegoeson?2.Aprojectileofmass0.20kgisshotverticallyupwardwithaninitialvelocityof10m/sec.Itisthensloweddownduetotheforcesexertedbygravityandairresistance.(a)Iftheforceduetoairresistanceequals0.005timesthesquareoftheprojectile’sinstantaneousvelocityactingintheoppositedirectiontothevelocity,produceamathematicalmodelusinganini