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方程与不等式——一元二次方程2一．选择题（共8小题）1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=62．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=153．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．1204．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=285．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．6．一元二次方程x2﹣1=0的根为（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=﹣1D．x1=0，x2=17．三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则第三边的长为（）A．2B．3C．2或3D．无法确定8．方程x（x+1）=x+1的解是（）A．1B．0C．﹣1或0D．1或﹣1二．填空题（共8小题）9．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_________．10．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得_________．11．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．12．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_________．13．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_________m．14．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于_________．15．已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，则a﹣b的值是_________．16．已知x=2是关于x的方程x2+4x﹣p=0的一个根，则p=_________，该方程的另一个根是_________．三．解答题（共8小题）17．解方程：x（x﹣2）=2x+1．18．解方程：x2﹣6=﹣2（x+1）19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．20．已知a，b是方程x2﹣5x+=0的两根，（1）求a+b和ab的值．（2）求﹣的值．21．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？22．据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次．若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？23．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？24．为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元．（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．方程与不等式——一元二次方程2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解答：解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．2．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：销售问题．分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．解答：解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．120考点：一元二次方程的应用．专题：判别式法．分析：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．解答：解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）=a，整理，得x2﹣20x+a=0，∵△=400﹣4a≥0，解得a≤100，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．解答：解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=1或a=﹣1，将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，则a的值为﹣1．故选：B．点评：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．一元二次方程x2﹣1=0的根为（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=﹣1D．x1=0，x2=1考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：压轴题．分析：首先把﹣1移到方程的右边，再两边直接开平方即可．解答：解：x2﹣1=0，移项得：x2=1，两边直接开平方得：x=±1，故选：C．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．7．三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则第三边的长为（）A．2B．3C．2或3D．无法确定考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题．分析：求出方程的解得到x的值，即可确定出第三边长．解答：解：方程x2﹣5x+6=0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，当x=2时，三角形三边分别为2，3，5，不成立，舍去，则第三边为3．故选B点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．方程x（x+1）=x+1的解是（）A．1B．0C．﹣1或0D．1或﹣1考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程变形后，利用因式分解法求出解即可．解答：解：方程移项得：x（x+1）﹣（x+1）=0，分解因式得：（x﹣1）（x+1）=0，解得：x=1或x=﹣1，故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．10．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：方程思想．分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．解答：解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+82