2016毕业论文数理统计相关

摘要本文首先给出了运动的数学模型，平衡点的定义和基本性质，并简要证明了对任意的平衡点，可以通过坐标变换将其化为原点稳定性问题。第二章给出了Lyapunov稳定，局部稳定，渐进稳定的定义。第三章研究了Lyapunov方法的基本理论工具，包括正定（或负定）V函数，以及矩阵理论中的Syervester定理。第四章分别研究了Lyapunov的间接法和直接法，描述了直接法的几何意义。给出了Lyapunov关于稳定的基本定理及Chetaev等所作的推广，并对不同的方法作了比较。在第五章中给出了应用Lyapunov研究实际问题的例子，首先针对直接法给除了几种构造V函数的技巧，而后给出了几个控制论问题中出现的方程并研究了它们的稳定性问题。最后研究单摆的稳定性并和物理的方法作了比较。最后在第六章中，我们应用迭代分析的方法，研究了一阶微分方程的反周期边界值问题解的存在与稳定性问题。关键词：稳定；一致稳定；直接法；迭代分析；反周期边值问题AbstractThispaperfirstlyprovidesthemathematicmodelofmotion,thedefinitionofequilibriumpointandprovethatforanyequilibriumpoints,atranslationcanalwaysbeappliedtoobtainanequivalentsystemwiththeequilibriumat0.ThesecondchapterdealswiththedefinitionofStabilityinthesenseofLyapunov,localStabilityandAsymptoticstability.ThethirdchapterdealswiththebasictoolsemployedinLyapunovmethod,includingtheVfunctionandMatrixtheory.TheFourthchapterdealswiththeindirectanddirectmethodofLyapunov,withanillustrationoftheGeometricexplanationofthedirectmethod.WegivethebasictheoremofLyapunovandimprovementsmakebyChetaev.InthefifthchapterweprovideexamplesoftheapplicationofLyapunovtheory,giveseveraltechniquesforconstructingVfunctionanddealwithsomeproblemsincontroltheory.Finallywestudythestabilityofpendulum.Inthelastchapter,bymeansoftheiterativeanalysismethod,theexistenceandstabilityforantiperiodicboundryvalueproblemoffirst-orderdifferentialequationsisconsidered.Keywords:stability,asymptoticstability,directmethod,iterativeanalysis,antiperiodicboundryvalueproblem中国地质大学2016届本科毕业论文第1页共26页目录序言…………………………………………………………………………………………………...2第一章概论………………………………………………………………………………………….3§1.1引言……………………………………………………………………………………….3§1.2平衡状态，给定运动与扰动方程之原点………………………………………………3第二章Lyapunov意义下稳定性定义………………………………………………………………4第三章Lyapunov稳定性理论工具…………………………………………………………………5§3.1纯量函数性质……………………………………………………………………………5§3.2常用矩阵…………………………………………………………………………………6第四章Lyapunov稳定性理论方法…………………………………………………………………7§4.1Lyapunov第一法…………………………………………………………………………7§4.2Lyapunov第二法………………………………………………………………………...9§4.3关于不稳定性的定理………………………………………………………………….12第五章例子与应用………………………………………………………………………………13§5.1V函数构造的技巧………………………………………………………………….13§5.2在控制论中的例子…………………………………………………………………….14§5.3单摆振动问题………………………………………………………………………….16第六章一阶微分方程反周期边界值问题的存在与稳定性……………………………………18§6.1概要………………………………………………………………………………………18§6.2基础………………………………………………………………………………………18§6.3主要结果………………………………………………………………………………..19结束语………………………………………………………………………………………………24谢词…………………………………………………………………………………………………25参考文献……………………………………………………………………………………………26中国地质大学2016届本科毕业论文第2页共26页序言运动系统的稳定性研究是自然科学和工程技术中很受人关心的问题。古典的例子是太阳系的稳定性和旋转星球所构成的星球的稳定性等等。近年来，运动稳定性理论，在世界各国都引起了极大的兴趣，这个由著名学者Lyapunov在十九世纪九十年代所开创的理论，在物理科学和工程技术的各个部门，都获得了广泛的应用。Lyapunov意义下的运动稳定性理论，是研究干扰性因素对物质系统运动的影响。所谓干扰性因素应理解为，在描述运动时，与基本力相比甚小而未曾加以考虑的力。这些力通常是不确切知道的，他们可以是瞬间的作用，因而引起物质系统的初始状态的微小变化。众所周知，微小的干扰因素对于物质系统运动的影响，对不同的运动是不一样的。对于一些运动，这种影响并不显著，因而受干扰的运动与不受干扰的运动相差很小。反之，对于另外一些运动，干扰的影响就可能很显著，以至于干扰的力无论多么小，受干扰的运动于不受干扰的运动随时间推移可能相差很大。简单地说，属于前者的运动就称为是稳定的，而属于后一类的运动，则成为是不稳定的。运动稳定性就是要建立一些准则，用以判断所考察的运动是稳定的或是不稳定的。因为在实际情况中，干扰因素总是不可避免地存在的，所以运动稳定性的问题有很重要的理论意义和实际意义。这也是近年来稳定性理论蓬勃发展的原因。中国地质大学2016届本科毕业论文第3页共26页第一章概论§1.1引言1892年，俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。通过长期的发展，稳定性理论在国内已成为一个较成熟的领域，见（1）（2）（3）（4）。在这一著作中，Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统),(txfx的给定运动)(tx(包括平衡状态exx)的稳定性，等价于给定运动)(tx(包括平衡状态exx)的扰动方程),~(~~txfx之原点(或零解)的稳定性。一般，动力系统的数学模型可写成(1)式中是某些与运动有关的参数，例如坐标和速度，或者一般地是这些量的某些函数。方程(1)的解称为运动。要研究的是当初值条件有微小变化时，是否会引起解的微小变化。考虑这个系统的任何特殊运动,它相应于(1)的某个特解),...,2,1)((nitfyii称这个特解是未受扰动的运动，以区别于这个系统的其他的运动；而称后者为受扰动的运动。量是受扰动的运动与未受扰动的运动的差值称为扰动。§1.2平衡状态考虑如下非线性系统式中x为n维状态向量，),(txf是变量1x,2x,…,nx和t的n维向量函数。假设在给定初始条件下，式(4.1）有唯一解),;(00txt，且当0tt时，0xx。于是在式(4.1）的系统中，总存在统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应的解，只涉及式(1.2）的解。这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，又不会丧失一般性，从而为稳中国地质大学2016届本科毕业论文第4页共26页定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。关于方程组情形的证明见（1）。中国地质大学2016届本科毕业论文第5页共26页第二章Lyapunov意义下的稳定性定义按照文献（3）的表述，初始条件引起解的变化若从有限区间来考虑，就是解对初值的连续性问题，即若方程组的右端函数在),(xt空间某域G内连续且对x局部满足lipschitz条件，)(tx为一个特解，在有限区间bta上有定义，当0x与)(0t充分靠近时，方程组满足初始条件的解也在bta上有定义，且一致地有即对任何0，恒存在0)(，使能当)()(00tx时，解),,(00xttx就在bta上有定义，且此时，有)(),,(00txtt在这个意义下，就说解)(tx在有限区间上是稳定的。无限区间上的情形就归结为在lyapunov意义下的稳定性问题设)(tx是一个特解，定义在半轴0tt上，若对任何0，恒存在)(,0)(00tx时，则解),,(00xttx就对所有0tt有定义且此时有)(),,(00txtt则说)(tx在liyapunov意义下是稳定的。如果)(tx在liyapunov意义下是稳定的，并且存在,00当000)(tx时，有0)](),,([lim00txttt则说)(tx在liyapunov意义下是渐进稳定的。中国地质大学2016届本科毕业论文第6页共26页第三章lyapunov稳定性理论的工具§3.1纯量函数性质纯量函数的正定性如果对所有在域中的非零状态0x，有0)(xV，且在0x处有0)0(V，则在域（域包含状态空间的原点）内的纯量函数)(xV称为正定函数。如果时变函数),(txV由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数)(xV，使得则称时变函数),(txV在域（包含状态空间原点）内是正定的。纯量函数的负定性如果-)(xV是正定函数，则纯量函数)(xV称为负定函数。纯量函数的正半定形如果纯量函数)(xV除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都是正定的，则)(xV称为正半定纯量函数。纯量函数的负半定性如果-)(xV是正半定函数，则纯量函数)(xV称为负半定函数。纯量函数的不定性如果在域内，不论域多么小，)(xV既可为正值，也可为负值时，则纯量函数)(xV称为不定的纯量函数。§3.2常用矩阵二次型建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。例如，中国地质大学2016届本科毕业论文第7页共26页注意，这里的x为实向量，P为实对称矩阵。复二次型或Hermite型如果x是n维复向量，P为Hermite矩阵，则该复二次型函数称为Hermite型函数。例如在基于状态空间的稳定性分析中，经常使用Her