2016江泽涵杯一等奖论文

北京大学第十三届“江泽涵杯”数学建模与计算机应用竞赛承诺书我们仔细阅读了北京大学“江泽涵杯”数学建模与计算机应用竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们一致同意：如果本参赛队获得北京大学“江泽涵杯”数学建模与计算机应用竞赛一等奖或二等奖，我们允许本队的论文被公众查阅；大赛组委会有权保留并向公众提供本参赛队论文的电子版。如果获奖论文要被结集出版，大赛组委会需要再征求我们全体队员的同意。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（或参赛队编号）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日评委评阅编号（由大赛组委会评阅前进行编号）：北京大学第十三届“江泽涵杯”数学建模与计算机应用竞赛编号专用页评委评阅编号（由大赛组委会评阅前进行编号）：评委评阅记录（可供评委评阅时使用）：评阅人评分备注1危险驾驶的定量分析摘要本文对危险驾驶的危险性、伤害程度建立模型进行了量化评估。首先从实际生活中抽象出交通事故的碰撞模型，进而建立了危险等级判断模型和未知伤害程度判断模型。模型考虑了主要因素，并在保留核心关系前提下进行了合理的近似简化。由于题目给出的数据资料较少，本文引用了一些其他论文中的数据资料，并利用微分方程、回归分析、物理计算和C++编程检验等方法来其进行处理。最后利用模型对具体问题进行了分析。首先，把交通事故分为一维碰撞和二维碰撞模型进行讨论。对于问题一的危险判定问题，借助紧急情况下司机的反应时间将发生危险的概率具体化，进而讨论制动（加速）和转向避让两种不同处理方法中的允许反应时间。其中较多运用物理公式的推导。伤害判定模型中，本文将未知伤害程度用吸收能量的大小即（由动能定理）动能损失来衡量。利用运动学中的动量守恒定律进一步转化为与墙壁碰撞，从而计算出碰撞双方各自吸收的能量。在完成了模型的建立工作后，搜集了大量的车祸实际案例对模型进行检验，证明了模型的合理性。在问题二中，从网络上找到与5月3日的“男司机打女司机”事件相关的数据，代入模型，计算出男司机和女司机各自的危险驾驶程度，得出男司机与女司机的过错比为1:1.35，并对其行为进行了简要分析。最后，对模型的优点和不足以及可能的改进推广方向加以总结和展望，具有一定的参考价值。关键词：回归分析、允许反应时间、动力学原理、动能损失21问题的重述2015年5月3日下午，成都市三环路娇子立交桥附近发生一起打人事件，女司机卢女士被后方小车司机张某逼停后拖出车外，暴打至骨折脑震荡，身上多处淤青。事情起因是卢女士驾车向右侧变道，后方张某车头险与卢女士车辆追尾。2015年11月3日，4人驾驶高尔夫R、捷豹、宝马、保时捷在马路上进行飙车，来回比拼了多轮直线加速，最高时速超过限速的50%以上，其间还逆行、闯红灯。2016年4月25日，杭州首例多人多车飙车案一审判决，4人因犯危险驾驶罪，分别被处以一个月到两个月不等的拘役。飙车、乱变线、强行超车等危险驾驶行为已经严重威胁到人民群众的生命财产安全，因为这些过程的真相大多没有被记录下来，因此造成交通管理部门对此类事件的调查和处罚缺乏依据。国家虽然对危险驾驶行为有相关定义，但是在具体处理过程中，对是否危险驾驶、危险驾驶的等级、危险驾驶带来的未知伤害程度认定方面还是缺乏科学依据。问题一：请建立数学模型，定量分析危险驾驶行为，要求可以通过模型判断是否危险驾驶，危险驾驶的等级以及危险驾驶会造成的未知伤害程度。问题二：运用你建立的模型定量研究5月3日发生的“男司机打女司机事件”，分析男司机和女司机各自的危险驾驶程度，明确此事件中两人的过错比例，并对事件进行科学合理的评价。2问题的分析本题是危险驾驶的量化判定问题。首先要分析什么是车辆运行过程中的危险，建立物理模型；其次再对危险程度选择合适的指标，再对物理模型定量分析。车辆交通事故的基本因素是碰撞:在道路上的事故是一维碰撞，在道路交叉口发生的事故是初速度方向垂直的二维碰撞。因此对风险性、伤害程度的分析都应对一维、二维情形分别讨论。危险驾驶的等级及判定应看事故发生的概率，也就是回避碰撞的难易程度。不论怎样的风险回避方式，司机都需要经过一定的反应时间才有所反应，而这时间又相对固定。因此回避风险所允许的反应时间的长短可以用来作为衡量危险程度的指标。在一维碰撞的情况下，在车流量较大或地方较狭小时，汽车只能采取制动的措施来避免相撞；在车流量较小及汽车可行驶空间较大时，汽车还可考虑急转弯回避。故我们又将一维碰撞分为制动模型和避让模型。在二维碰撞的情况下，两辆汽车以垂直的速度相撞，考虑其中一辆车，其可以采取减速制动或加速、避让两种措施来避免事故的发生，故我们分别建立制动或加速模型与避让模型来研究问题。危险驾驶可能的未知伤害大小与可以通过车辆的损坏来评估，又由于车辆可以视作弹性系数相近的塑形弹簧，车辆的形变可以由吸收的能量即动能损失客观反映。而在两车相撞的模型中，我们利用物理中的力学规律，将其划归为汽车以其相对于两车质心的速度和固定障碍物相撞的情形进行力学分析，求出两车各自所受伤害的大小，将其和作为预计可能发生的车祸所造成伤害大小的指标。评价具体危险驾驶行为的危险程度，应综合考虑危险驾驶行为产生危险的概率和危险的严重程度即造成的损失大小。我们用危险指数与动能损失的乘积来表示。3符号约定ψ：危险驾驶指数t0：标准反应时间（单位：s）3t：允许反应时间（单位：s）△t：加速度变化时间（单位：s）T：连续驾驶时间（单位：h）c：驾驶员血液酒精浓度（单位：mg/ml）a0：标准加速度（单位：m/s2）a：制动加速度（单位：m/s2）s0：汽车发现障碍物时与障碍物之间的距离（单位：m）s：采取制动或避让措施后的运动距离在车辆原速度方向上的投影（单位：m）v：车速（单位：m/s）d：障碍物的宽度（单位：m）△d：平均车长（单位：m）R：车辆转弯半径（单位：m）Q：车流量（单位：辆/千米）n：车道数y：注意分配能力μ：路面摩擦系数η：超载系数4模型的假设（1）驾驶员拥有基本的驾驶技术且不会主动做出危险行为，车辆能正常运行。（2）不考虑车辆侧翻等倾覆情况。（3）假定在看见障碍物前汽车匀速行驶。5危险驾驶的判断和等级划分当碰撞即将发生时，驾驶员经过一段反应时间后才会开始采取行动。在反应时间内汽车将维持匀速前进状态。而对于具体的情形，制动停止或转向回避所经过的路程一定，于是允许驾驶员保持反应状态的反应时间也有上限。我们把这个上限称作允许反应时间。即0vtss因此能否避开事故即是看驾驶员的实际反应时间是否在允许反应时间之内。又由于实际反应时间与个体差异有关，资料显示[2]，一般人的反应时间在0.8-1.5秒之间；因此可以将允许反应时间视作衡量事故危险性的指标。允许反应时间小于1.5秒就意味着发生碰撞可能时，有些人会存在事故风险。因此我们以1.5s作为标准反应时间。是否为危险驾驶即是看允许反应时间是否小于标准反应时间，而求解允许反应时间等价于求解s。下面对不同情形中s的求解进行具体分析。5.1一维碰撞一维碰撞的基本情形如图所示，即运动车辆撞静止物体。4同时它还有许多推广。例如两车追尾时，相撞原因是前车速度小于后车速度，改变参考系的选择，则后车速度大小为后车相对地面的速度大小减去前车相对地面的速度大小，前车速度为零，这样我们可以把两车追尾也看做是运动车辆撞静止物体；两车相向而行时，选取其中一辆车为参考系，则该车速度为零，另一车速度为两车相对地面的速度大小之和，则也转化为了运动车辆撞静止物体。由上述分析可知，运动车辆撞静止物体、两车追尾、两车相向而行相撞在不考虑采取避让措施的情况下均可化归为一维碰撞模型，且v表示它们的相对速度。5.1.2制动模型的分析与建立制动过程包括制动传导阶段、制动响应阶段和持续制动阶段。制动传导阶段指驾驶员踩下刹车后，信号传导到汽车，汽车开始产生制动加速度的过程，资料显示这一时间极短，可以忽略。制动响应阶段即汽车制动加速度从0增到最大的过程，持续制动阶段即汽车在最大制动加速度的状态下作匀减速运动直至停止的过程。在制动模型中，我们将对危险驾驶的影响因素分为静态因素和动态因素。其中，静态因素包括路面的粗糙程度。我们用路面的摩擦系数来反映粗糙程度，定义为同一车辆在某一粗糙路面的加速度与在良好路面的加速度的比值。动态因素包括驾驶速度、车辆总质量和驾驶员的驾驶状态。由于车辆总质量主要影响车辆制动时加速度的大小且制动加速度与质量呈反比，所以我们用总质量与车辆正常质量的比值即超载系数来衡量质量对问题的影响。由于制动加速度的主要影响因素为路面粗糙程度与车辆质量，并且由牛顿第二定律分析可知加速度与路面粗糙程度成正比、与超载系数成反比，故我们可用下述公式：0aa5来计算制动加速度的大小。其中，a0如下表车辆种类最大制动加速度（m/s2）轿车7货车、客车3不同路面的最大滑动摩擦因数与摩擦系数如下表[1]路面最大滑动摩擦因数摩擦系数沥青或混凝土（干）0.851．00沥青（湿）0.600.71混凝土（湿）0.800.94砾石0.600.71土路（干）0.680.80土路（湿）0.550.65雪（压紧）0.200.24冰0.100.12得到制动加速度后，因已知汽车行驶速度，同时，考虑在一开始的减速过程中加速度近似是线性变化的，从而有微分方程33dxadtt解得：221()16()26vatsvtata（其中△t取0.3s）计算得到制动距离s，并结合障碍距离s0即得在恰好撞上障碍物时汽车所能匀速行驶的最大路程。因此，我们可以得到允许反应时间0sstv当t小于等于零时，车一定会与障碍物相撞，故该车为危险驾驶，且。当t大于零时，根据资料数据的查找分析，我们发现在驾驶员驾驶状态良好时，标准反应时间可取为1.5秒[2]。接下来，我们考虑驾驶员疲劳程度及血液中酒精浓度对反应时间的影响。根据对数据的线性回归分析（数据详见附录），我们可以得出驾驶员连续驾驶时间对反应时间有影响，且两者为线性关系。连续驾驶时间为T时，反应时间增加0.02974T秒，函数如下图6现在我们进行相关性检验，我们一共分析了n=32组数据，由公式γ=∑(xi−x̅)(yi−y̅)ni=1√∑(xi−x̅)2∑(yi−y̅)2ni=1ni=1T=γ√n−2√1−γ2计算得出，此次线性回归的统计量T值为5.36031,远高于t0.005(30)=2.7500。由此可知，数据的线性相关度良好，我们通过线性回归得到的函数模型是准确可靠的。根据资料[3]可得当驾驶员血液酒精浓度为c时，驾驶员的反应时间增大0.7579（e0.6469c-1）秒，函数如下图由于驾驶员的注意力有限，而在开车时会有许多需要关注的地方，故还有考虑驾驶员的注意力分配问题，综合资料[4]研究成果及对疲劳驾驶数据的回归分析，可得注意分配能力力决定关系式为y=-0.0123T-0.2147c+0.7015综上，我们可得t大于零时，危险驾驶指数70.646900.64690220000.029740.7579(1)(0.01230.21470.7015)(0.029740.7579(1))1(())(0.01230.21470.7015)62cctTetTctTevvsvtatTca5.1.2避让模型的分析与建立当采取避让措施时，驾驶员可以紧急制动一段时间后再转弯闪避。在转弯时采取加速和制动很可能造成打滑或飞出等情形，会严重的影响到汽车行驶的稳定程度，故驾驶员一般不会在转弯的同时进行大幅度的速度改变。因而我们可将转弯