2015届高三数学一轮复习两条直线的位置关系提分训练题

1两条直线的位置关系一、选择题1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0B．2x－3y＋5＝0C．3x＋2y＋7＝0D．2x－3y＋8＝0解析由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案A2．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由两直线垂直⇔3m＋m(2m－1)＝0⇔m＝0或－1，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．答案A3．直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为()A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0解析在对称直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．由x′＋x＝2，y′＋y＝2，得P′(2－x,2－y)，∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.答案B4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()．A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0解析所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案A5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()．2A．－2B．－7C．3D．1解析由已知条件可知线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.答案C6.直线10xay与直线(1)230axy互相垂直，则a的值为（）A．-2B．-1C．1D．2解析因为两直线垂直,所以120aa,解得1a,故选C.答案C7．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()．A.722B.922C.1122D.91010解析由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案A二、填空题8.若直线与直线250xy与直线260xmy互相垂直，则实数=_______.解析121212,,12kkkkm直线互相垂直,，即12()1,12mm.答案19.已知直线1:(3)(4)10lkxky与2:2(3)230lkxy平行，则k的值是________.解析因为两直线平行,所以当3k时,成立;当3k时,41k,解得5k.答案3或510．已知1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝a＋2b5＝15(a＋2b)1a＋1b＝153＋2ba＋ab≥15(3＋22)＝35＋2105，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋2，b＝2＋22时取等号．答案35＋2105311．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于22＝2.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是22，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.答案①⑤12．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝18.答案18三、解答题13．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解析：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95，③y′＝3x＋4y＋35.④(1)把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．4(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.14．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解析(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.15．过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程.解析设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，5由y＝kx＋2－k，4x＋3y＋1＝0，解得A3k－73k＋4，－5k＋83k＋4；由y＝kx＋2－k，4x＋3y＋6＝0，解得B3k－123k＋4，8－10k3k＋4.∵|AB|＝2，∴53k＋42＋5k3k＋42＝2，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－17.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0，或7x－y－5＝0.16．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.