2015届高三数学总复习学案5函数的单调性与最值

1自主梳理(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y＝x＋ax(a0)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上单调________；在(－a，0)，(0，a)上单调________；函数y＝x＋ax(a0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0))，则称f(x0)为y＝f(x)的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有f(a2＋1)________f(a)．(填“”、“”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)．①y＝1－2x；②y＝x－1；③y＝－x2＋2x；④y＝5.4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a的取值范围是________．5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为______________________．探究点一函数单调性的判定及证明例1设函数f(x)＝x＋ax＋b(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋1fx，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．2探究点二函数的单调性与最值例2已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．变式迁移2已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.分类讨论及数形结合思想例(14分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.[2分](1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[5分](2)当0≤a1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[8分](3)当1a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[11分]3(4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[14分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a0,0≤a≤2，a2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a0时，具有相同的单调性，当a0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1fx具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·泰州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(2009·天津改编)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围为________．3．(2009·宁夏，海南改编)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围为________．5．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(2011·淮安调研)函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y＝[f(x)]2是增函数；4②y＝1fx是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．8．(2011·苏州质检)设0x1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．10．(14分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．11．(14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fba＋b0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f(x＋12)f(1x－1)；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数)(2)增函数减函数(3)单调区间(4)递增递减(－∞，0)，(0，＋∞)2.大小自我检测1．单调减函数2．3．③4．a≤－35．[－43＋c,55＋c]课堂活动区例1解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x1，x2，且使x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋b＝x2＋ax1＋b－x2＋bx1＋ax1＋bx2＋b5＝b－ax2－x1x1＋bx2＋b.∵ab0，∴b－a0，∴(b－a)(x2－x1)0，又∵x∈(－∞，－b)∪(－b，＋∞)，∴只有当x1x2－b，或－bx1x2时，函数才单调．当x1x2－b，或－bx1x2时，f(x2)－f(x1)0，即Δy0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1fx2]－[f(x1)＋1fx1]＝[f(x2)－f(x1)][1－1fx1fx2]，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x5时，0f(x)1，而当x5时f(x)1；①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1，∴0f(x1)f(x2)1，∴1－1fx1fx20，∴F(x2)F(x1)；②若x2x15，则f(x2)f(x1)1，∴f(x1)·f(x2)1，∴1－1fx1fx20，∴F(x2)F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)．∵x1x2，∴x1－x20，又∵1x1x2，∴1－12x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立，等价于x2＋2x＋a0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a0时，函数f(x)恒成立，故a－3.方法二f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a0时，函数f(x)递增；当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，故a－3.方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立等价于x2＋2x＋a0恒成立．即a－x2－2x恒成立．又∵x∈[1，＋∞)，a－x2－2x恒成立，∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．∴a－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.当x＝1时，u取得最大值－3，∴a－3.6变式迁移2解设1x1x2.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－(x2－ax2＋a2)＝(x1－x2)(1＋ax1x2)0.又∵x1－x20，∴1＋ax1x20，即a－x1x2恒成立．∵1x1x2，x1x21，－x1x2－1.∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．例3解题导引(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解(1)方法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．方法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．