2015届高中数学二轮复习专题2三角函数与平面向量

-1-【走向高考】2015届高中数学二轮复习专题2三角函数与平面向量（第3讲）课时作业新人教A版一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5[答案]A[解析]本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.联立方程解得ab＝1，故选A.2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10[答案]B[解析]本题考查向量的模及垂直问题．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.3．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[答案]B[解析]一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出a，4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为()A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案]C[解析]∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C-2-[解析]解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝3|a|，则cosθ＝－2a24a2＝－12⇒θ＝2π3.解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为2π3.5．(2014·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→[答案]A[解析]如图，EB→＋FC→＝－12(BA→＋BC→)－12(CB→＋CA→)＝－12(BA→＋CA→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.选A.6．若a、b、c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2[答案]B[解析]|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2＝1－(a·c＋b·c)≤0，∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.二、填空题7．(文)(2014·湖北文，12)若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.-3-[答案]25[解析]|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0⇒△AOB是直角边为|OA→|＝10的等腰直角三角形，AB是斜边，所以|AB→|＝25.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则可以避免复杂的代数运算．(理)(2014·江西理，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案]223[解析]本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝13，∴|a|2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9e21－6e1·e2＋e22＝8，a·b＝9e21－9e1·e2＋2e22＝8，∴|b|＝22，cosβ＝a·b|a|·|b|＝83×22＝223.8．(2013·重庆文，14)若OA为边，OB为对角线的矩形中，OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，则实数k＝________.[答案]4[解析]本题考查向量的数量积及坐标运算．∵OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，∴AB→＝OB→－OA→＝(1，k－1)．由题意知OA→⊥AB→，∴OA→·AB→＝0即(－3,1)·(1，k－1)＝0.∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.9．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．[答案](1)(31010，1010)(2)－255[解析]本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，其单位向量为(31010，1010)，(2)∵b－3a＝(－2,1)，|a|＝1，|b－3a|＝5，a·(b－3a)＝－2，∴cos〈a，b－3a〉＝－|a|·|b－3a|＝－255.10．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n的取值范围是________．-4-[答案](－1,0)[解析]根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则OD→＝tOC→.∵D在圆外，∴t－1，又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得OD→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，又由已知，OC→＝mOA→＋nOB→，∴tmOA→＋tnOB→＝λOA→＋μOB→，∴m＋n＝1t，故m＋n∈(－1,0).一、选择题11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝32，|a＋b|＝22，则|b|等于()A.12B．1C.32D．2[答案]B[解析]∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.12．(文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→＋2OC→＝3OB→，则|BC→||AB→|的值为()A.12B.13C.14D.16[答案]A[解析]如图，设OD→＝2OC→，作▱OAED，则OE→＝3OB→，-5-∴|AB→|＝|DF→|＝2|BC→|，∴|BC→||AB→|＝12.(理)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2[答案]C[解析]抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为FP→＝4FQ→，∴|PQ→||PF→|＝34，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得|QA||FG|＝|PQ→||PF→|＝34，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.13．(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，AD→＝14AC→＋λAB→(λ∈R)，则AD的长为()A．1B.3C．3D．33[答案]D[解析]在AC上取E点，在AB上取F点，使AE→＝14AC→，AF→＝λAB→，∵AD→＝14AC→＋λAB→＝AE→＋AF→，∴DE∥AB，DF∥AC，∴AFBF＝CDBD＝CEAE＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝33.(理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取值范围是()A．[4,6]B．[19－1，19＋1]C．[23，27]D．[7－1，7＋1][答案]D[解析]考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．设D(x，y)，则由|CD→|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，而|OA→＋OB→＋OD→|＝－＋＋3表示点D(x，y)到点(1，－3)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－3)与点(3,0)的距离为7，∴|CA→＋OB→＋OD→|的取值范围为[7－1，7＋1]．-6-14．(2014·浙江理，8)记max{x，y}＝x，x≥yy，xy，min{x，y}＝y，x≥yx，xy，设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2[答案]D[解析]由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；当〈a，b〉为锐角时，|a＋b||a－b|，此时|a＋b|2|a|2＋|b|2.当〈a，b〉为钝角时，|a＋b||a－b|，此时|a＋b|2|a|2＋|b|2|a－b|2.当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.故选D.二、填空题15．(2014·山东理，12)在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________.[答案]16[解析]AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosπ6＝tanπ6∴|AB→||AC→|＝23S△ABC＝12|AB→||AC→|sinπ6＝12×23×12＝16.16．(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________(用向量a和b表示)．[答案]23a＋13b[解析]据题意可得AC→＝AD→＋DC→＝AD→＋12AB→＝a＋12b，又由AB→＝2DC→，可得AO→＝23AC→＝23(a＋12b)＝23a＋13b-7-(理)(2013·南昌高三调研)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组x≥1，y≥0，x＋y≤4.则OM→·ON→的最大值为________．[答案]12[解析]据不等式组得可行域如图所示：由于z＝OM→·ON→＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.三、解答题17．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|m恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)∵a⊥b，∴3cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝3.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－3)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(12sinθ－32cosθ)＝8＋8sin(θ－π3)．又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，2π3]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|m恒成立，∴m4.18．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.[解析](1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，-8-∴tanC＋tanB＝－2.(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，∴由正、余弦定理