2015届高考人教A版数学(理)总复习配套文档1.2命题及其关系充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题．(×)(2)“sin45°＝1”是真命题．(×)(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°.(×)(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(6)若α∈(0,2π)，则“sinα＝－1”的充要条件是“α＝32π”．(√)2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b答案D解析命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4答案C解析命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”，故选C.4．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．题型一四种命题及真假判断例1(1)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4(2)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真．答案(1)C(2)D解析(1)z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.(2)命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．(1)命题“若α＝π3，则cosα＝12”的逆命题是()A．若α＝π3，则cosα≠12B．若α≠π3，则cosα≠12C．若cosα＝12，则α＝π3D．若cosα≠12，则α≠π3(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)C(2)C解析(1)命题“若α＝π3，则cosα＝12”的逆命题是“若cosα＝12，则α＝π3”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．答案D解析对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)0，从而可得m－2或m6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由f－xfx＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出f－xfx＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.所以p⇔q.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．(1)(2012·福建)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0(2)设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)D(2)C解析(1)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.(2)因为A＝{x|x－20}＝{x|x2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)0}＝{x|x0或x2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.题型三充分条件与必要条件的应用例3(1)函数f(x)＝log2x，x0，－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a0B．0a12C.12a1D．a≤0或a1(2)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C．(－∞，0]∪12，＋∞D．(－∞，0)∪12，＋∞思维启迪(1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系．答案(1)A(2)A解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a1.观察选项，根据集合间关系{a|a0}{a|a≤0或a1}，∴答案选A.(2)p：|4x－3|≤1⇒－1≤4x－3≤1，∴12≤x≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇒(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有a≤12，a＋11，或a12a＋1≥1，则0≤a≤12.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为________．(2)已知命题p：实数m满足m2＋12a27am(a0)，命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．答案(1)－1(2)13，38解析(1)由x21，得x－1，或x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“xa”可以推出“x21”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.(2)由a0，m2－7am＋12a20，得3am4a，即命题p：3am4a，a0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－mm－10，解得1m32，即命题q：1m32.因为p是q的充分不必要条件，所以3a1，4a≤32或3a≥1，4a32，解得13≤a≤38，所以实数a的取值范围是13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(12分)已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．思维启迪(1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围．规范解答解化简集合A，由y＝x2－32x＋1.配方，得y＝x－342＋716.∵x∈34，2，∴ymin＝716，ymax＝2.∴y∈716，2.∴A＝y716≤y≤2.[4分]化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．[6分]∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B.[8分]∴1－m2≤716，解得m≥34，或m≤－34.[11分]∴实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.[12分]温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B