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§2.9函数的应用1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)(3)不存在x0，使ax0xn0logax0.(×)(4)美缘公司2010年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%.(×)(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(√)(6)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．(√)2．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处答案A解析由题意得，y1＝k1x，y2＝k2x，其中x0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝45，y1＋y2＝20x＋45x≥220x·45x＝8，当且仅当20x＝45x，即x＝5时取等号，故选A.3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()答案A解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元答案D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案2ln21024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e12k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.题型一二次函数模型例1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．解(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4得ah2＝－1，所以a＝－1h2.由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－1h2[x－(2＋h)]2＋4，则f(5)＝－1h2(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－1h2(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤43.达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，43]．思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0x240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台．题型二指数函数模型例2诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)思维启迪从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．解(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．思维升华此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)等于()A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克答案D解析∵M′(t)＝－130M02－t30·ln2，∴M′(30)＝－130×12M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．(文)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．解(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，当θ＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x≥1，则x＋1x＝52，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122t恒成立．令12t＝x，则0x≤1，∴m≥2(x－x2)，由于x－x2≤14，∴m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是12，＋∞.题型三分段函数模型例3某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．思维启迪题中y关于x的函数为分段函数关系．解(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝14.4x0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；当x∈[0，45]时，y≤f(45)26.4；当x∈(45，43]时，y≤f(43)26.4；当x∈(43，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨；付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．思维升华(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝0n≤10，10010n≤15，20015n≤20，30020n≤25，400n25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多()A．600元B．900元C．1600元D．1700元答案D解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．又