水力学第三章(2)

第三章液体一元运动基本理论§3-3用控制体概念分析液体运动的基本方程§3-4连续方程§3-3用控制体概念分析液体运动的基本方程拉格朗日法与欧拉法以个别的液体质点为对象，研究这些给定的液体质点在整个运动过程中的轨迹和运动要素随时间的变化规律。以流场中的空间点为对象，研究各时刻流场中诸空间点上不同液体质点的运动要素的分布和变化的规律。拉格朗日法欧拉法质点系和控制体•质点系：包含着确定不变的连续的液体质点的液体团称为质点系，或称为系统。•控制体：被液体流过的，相对某个坐标系来说固定不变的任何几何形状的空间称为控制体。以质点系为研究对象,分析其受力情况，建立有关的方程式，研究其运动状况，这是拉格朗日法的基本途径。研究流经控制体液体的受力情况和运动情况，建立有关液体运动的基本方程，这是欧拉法的基本途径。质点系的特点:•质点系的边界随着液体一起运动，边界面的形状和大小可以随时间变化；•质点系的边界处没有质量交换，即没有液体流进或流出边界；•质点系的边界上受到外界作用的表面力；•质点系的边界上可以有能量交换，即有能量（热或功）流入或流出边界。控制体的边界面称为控制面，它是封闭的表面,控制面有以下特点:•控制面相对于坐标系是固定不变的；•控制面上可以有液体的质量交换，即有液体流进或流出控制面；•控制面上受到控制体以外物体加在控制体内液体上的力；•在控制面上可以有能量交换，即可以有热或功流人或流出控制面。图3.3.1xxyzyzabDdcdydx控制体BACdz关于质点系水流运动的基本方程1.质量守恒定律质点系内，没有质量变化(没有液体流进或流出)，或者说质点系中的质量对时间的导数等于零。0DtDmsydVmsysy2.动量守恒定律作用在质点系上的所有外力的向量和，等于质点系所具有的动量对时间的导数。DtDpFsysydVupsysy3.动量矩定律作用在质点系上的外力关于某轴力矩向量和，等于该质点系关于同一轴的动量矩对时间的导数。DtDLTsyqsydVurLsysy质量守恒定律、动量定律、动量矩定律右端的导数可以统一写成如下形式：DtDNsyNsy为质点系所具有的某一物理量，如质量m、动量P及动量矩L。dVNsysyη为质点系中单位质量液体所具有的相应于N的物理量。LNpNmNuru1建立控制体水流运动基本方程的途径1.将关于质点系的水流运动的基本方程转换为控制体描述的水流运动的基本方程。2.直接以控制体为研究对象，依据水流运动的基本规律（质量守恒定律、动量定律、动量矩定律），建立水流运动的基本方程。本质：将拉格朗日法的表达式与欧拉法的表达式建立联系。DtDNsy物质体积分的随体导数是对质点系而言，只需建立其与控制体相联系时的表达式。物质体积分的随体导数是对质点系而言，与控制体相联系时的表达式。DtDNsy随体导数的数学定义tNNDtDNtsyttsytsy，，0lim图3.3.3t时刻n1AaDdcCbBn1u1n2u2badA1dc123123dA2u1n2u2t+δt时刻(a)(b)tcvtttsyNNNN,,2,1,ttttttsyNNN,3,2,ttttttcvNNN,3,1,图3.3.3t时刻n1AaDdcCbBn1u1n2u2badA1dc123123dA2u1n2u2t+δt时刻(a)(b)tNNtNNDtDNttttttcvttcvtsy,1,30,,0limlim第一项表示控制体中的物理量Ncv的时间变化率。dVttNtNNcvcvtcvttcvt,,0lim第二项中相当于在δt时段内通过控制面adc流出控制体的物理量N。相当于在δt时段内通过控制面abc流入控制体的物理量N。ttN,3ttN,1tAdtuAdtutNNabcadctttttt11220,1,30limlimcscvsyAdudVtDtDN图3.3.3t时刻n1AaDdcCbBn1u1n2u2badA1dc123123dA2u1n2u2t+δt时刻(a)(b)csabcadcAduAduAdu1122cscvsyAdudVtDtDN左端项是对质点系而言的物理量N的随体导数，它描述物理量N的体积分变化的过程；右端的第一项描述控制体内的物理量N随时间的变化率，反映了物理量N的非恒定性；右端的第二项表示单位时间内液体通过控制体表面流出与流入的物理量N之差，也称为物理量N的通量。系控方程将拉格朗日法的表示式与欧拉法的表示式联系起来的桥梁。dVdtddtdNsysydtdVddVdtdsysy)(dVdtdsy)(dVutcv))(()(dtdVdsydtdxdydzdsydxdydtdzddxdzdtdyddydzdtdxdsydxdydzdzdudxdydzdydudxdydzdxduzyxsydxdydzdzdudydudxduzyxsydxdydzucvdVdtddtdNsysydtdVddVdtdsysy)(dVdtdsy)(dVutcv))(()(dtdVdsydVudxdydzucvcvdtdVddVdtdsysy)(dVudVutcvcv)())(()(dVutcv)()(cvcvdVudVt)()(dAudVtcvcvn)()(关于控制体水流运动的基本方程1．连续方程对于质量守恒定律，在系控方程中取10cscvAdudVt2．动量方程在系控方程中取ucscvcvAduudVutF3．动量矩方程在系控方程中取urcscvqAduurdVurtTcv§3-4连续方程质量守恒定律在水力学中的具体表现形式为连续方程0cscvAdudVt对于不可压缩液体的非恒定流，ρ=const0cscvAdudVt对于可压缩液体的恒定流0dVtcv0csAdu对于不可压缩液体的恒定流0csAdu在恒定流时流出与流入控制体表面的质量流量（可压缩液体）或体积流量（不可压缩液体）之差为0。例3.4.1有一如图所示的管道中的恒定水流运动，设断面1-1、2-2的过水断面面积分别为A1，A2，其断面平均流速分别为v1，v2，试建立该总流的连续方程。图3.4.1BCDnn2cvcsA2A1n1v1n2v2112A取图中1-1，2-2断面与管壁所围空间ABCD为控制体，流动是恒定的，连续方程为0csAdu图3.4.1BCDnn2cvcsA2A1n1v1n2v2112A0212211AAdAudAu222111AvAvQAvAv22111221AAvv0csAdu例3.4.2如图所示为一隧洞中的调压井。设进水及出水隧洞的过水断面积分别为A1、A2，断面平均流速分别为v1、v2，调压井的横断面积为Ω。试建立调压井中水位随时间的变化规律。此问题属于不可压缩液体的非恒定流问题。0cscvAdudVtx21(t)(t)v(t)vHOJHIGFAEDCB2211zΩ取AGBCDEIF空间为控制体，应用非恒定流连续方程。设在时刻t时调压井中的水位为H（t），则dttdHVVtHdtddVtIJDEBCHGcvDEBCcsAduAduAdu0)(2211AvAvdttdH)(1)(2211AvAvdttdHx21(t)(t)v(t)vHOJHIGFAEDCB2211zΩ2211AvAv例3.4.3试推导有压管路非恒定流和明渠非恒定流的连续方程。在有压管路非恒定流问题中应考虑液体的压缩性0cscvAdudVt取1-1断面和2-2断面之间的管路空间为控制体，如图中虚线所示。()cvdVAdsttdsvAsvAdsvAsvAAducs)()(()()0AvAts0cscvAdudVt()()0AvAts令ρ＝常数，并注意到vA=Q，则得明渠非恒定流连续方程为0AQts例3.4.4有一如图所示的压缩空气罐。已知罐内的容积V=0.05m3,压缩空气的密度ρ=6kg/m3,当罐的出口阀门突然打开时，喷出气体的瞬时速度u＝300m／s，出口断面积A=70mm2。试求：开启阀门瞬间罐内气体的密度随时间的变化率。设罐内气体的密度均匀分布。阀门uAVρ取图中虚线所围成空间为控制体。对控制体应用非恒定流时的连续方程0cscvAdudVt()cvcvdVdVVtttuAAducs0VuAts)]m/(kg[52.205.010703006360VuAtt阀门uAVρ