水力学第四章

第四章相似原理与量纲分析§4-1流动的相似§4-2相似准则§4-3模型试验§4-4量纲分析§4-1流动的相似模型和原型两个液流系统的同名物理量在所有相应点上都具有同一比例关系，则这两个流动为相似流动。保持流动相似要求（1）模型与原型之间具有几何相似、运动相似和动力相似。（2）模型和原型的初始条件和边界条件也应保持相似。相似流动指模型和原型两个液流系统的几何形状相似。lp代表原型某一部位的长度，lm代表模型上相应部位的长度，λl为长度比尺。mplll原型中的物理量注以脚标“p”，模型中的物理量注以脚标“m”。几何相似要求：两个流动系统中所有相应长度维持同一比例关系且相应夹角相等。几何相似在几何相似的前提下，原型和模型的面积和体积也都维持一定的比例关系。几何相似是通过长度比尺λl来表达的。只要维持固定的比尺关系λl，就保证了两个流动的几何相似。2mplAAA3mplVVV指质点的运动情况相似，即在相应时间里作相应的位移。时间比尺：原型液流与模型液流中任何对应质点流过相应线段所需要的时间之比。mpttt运动相似要求：流速相似和加速度相似，或者两个流动的速度场和加速度场相似。运动相似流速相似，定义流速比尺为：mpvvv加速度相似，定义加速度比尺：mpmpddddtvtvaaa2mpmp//ddddtltvttvv运动状态相似要求有固定的长度比尺和固定的时间比尺。mpmpmmpp////ttlltltltl指作用于液流相应点各同名力均维持一定的比例关系。mpFFFFp代表原型流动中某点的作用力；Fm代表模型流动中相应点的同样性质的作用力；惯性力压力弹性力表面张力粘滞力重力动力相似要求：原型与模型液流中任何对应点上作用着同名力，各同名力互相平行且具有同一比值。动力相似三种相似之间的关系•几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据;初始条件和边界条件相似是指原型和模型流动的初始情况和边界状况也要满足几何相似、运动相似和动力相似。•动力相似是决定水流运动相似的主导因素;•运动相似是几何相似和动力相似的表现。§4-2相似准则企图维持液体原有运动状态的力：惯性力。企图改变流动状态的力：万有引力特性所产生的重力，流体粘滞性所产生的粘滞力，压缩性所产生的弹性力以及液体的表面张力等。动力相似要求：IF部分相似：从其中选出某些对流动起决定作用的主要力，使该力的作用力比尺与惯性力比尺相等。22vlmaI22vlI2m2mmm2p2pppvlFvlF牛顿相似准则22/vlF为牛顿准数（或牛顿数），无量纲。IF动力相似要求对应的牛顿数是相等的，称为牛顿相似准则。2m2mm2p2ppmpvlvlFF•弗劳德相似准则（重力相似准则）作用力为重力时，其大小可用ρgl3来衡量，惯性力与重力之比:glvglvlFvl232222glvFrmpFrFr•雷诺相似准则（粘滞力相似准则）若作用力为粘滞力时，根据，粘滞力大小可用来衡量，代入牛顿数中，就得到惯性力与粘滞力的比例关系:yuAFddlvlvlF2lvlvvlFvl2222lvlvRempReRe•欧拉相似准则（压力相似准则）作用力为压力时，由于压力可用pl2表征，可得表征水流运动的惯性力与压力之比的欧拉数（Eulernumber）pvpllvEu2222mpEuEu•其他相似准则考虑表面张力作用时，表面张力可用σl表征，可得表征水流中惯性力与表面张力之比的韦伯数（WeberNumber）/222lvllvWempWeWe作用力中要考虑弹性力时，由于弹性力可用Kl2表征，K为流体的体积模量，可得表征惯性力与弹性力之比的柯西数（CauchyNumber）/2222KvKllvCampCaCa§4-3模型试验相似要求：几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件相似。必须选择对液流起决定影响的作用力来考虑原、模型之间的动力相似，对不同的液流，因其主要作用力不同，相似准数也相应不同。如何设计模型；如何将模型中测得的运动要素换算到原型中。动力相似：模型和原型的弗劳德数Fr、雷诺数Re、韦伯数We、柯西数Ca、欧拉数Eu对应相等。•重力相似mpFrFrpppmmmlgvlgvpmgg5.0lv流量比尺时间比尺mpQQQmptttmmppvAvAvl25.2lmmpp//vlvlvl/5.0l力的比尺mmppmpaMaMFFF若λρ=1（原、模型同用水），则3lF压强比尺AFpmmmpppddddtvVtvV3l23llll只要模型与原型几何相似，并选择一定的线性比尺λl缩制模型，保证通过模型的流量为重力相似准则下的液流相似模型设计5.2lpQpmQQQ重力相似准则下的液流相似模型一般应用于恒定的明渠流、坝上溢流等问题。•粘滞力相似对液流起主要影响的是粘性阻力，这时液流相似要求原、模型雷诺数相等mpRe=Remmmmpppplvlv若原型与模型中都是同一种流体（温度也相同）mpmppmmpllvv速度比尺流量比尺时间比尺力的比尺lv1lllvAQ122/lvltmmmpppmmppaVaVaMaMFmmmpppddddtvVtvVtvldd3tvl31/33ll压强比尺粘滞力相似准则下，只要模型与原型几何相似，并选择一定的线性比尺λl缩制模型，保证通过模型的流量为lQQQQppmAFp可得到粘性阻力相似准则下的液流相似模型，其他比尺自动满足。222lll若重力和粘性阻力同时是液流的主要作用力，则液流相似要求保证模型和原型的弗劳德数和雷诺数一一对应相等。弗劳德数相等雷诺数相等5.0lvlv/1要求同时满足以上两式的条件只有在λl=1时才有可能，即模型不能缩小，这就失去了模型试验的意义。讨论改变模型中所用的液体，保证模型和原型的弗劳德数和雷诺数相等lV5.0lV同时满足弗劳德相似和雷诺相似有两个条件：5.0l一是模型流动的流速应为原型流动流速的倍；二是必须按线性比尺的1.5次方来选择液体的运动粘度的比尺。1mmmppplVlV1mmmppplgVlgV5.1l例4.3.1已知溢流坝的最大下泄流量为1000m3/s，取长度比尺λl=60的模型进行试验，试求模型中最大流量为多少？如在模型中测得坝上水头Hm为8cm，测得模型坝脚处收缩断面的流速vm为1m/s，原型情况下相应的坝上水头和收缩断面流速各为多少？起主要作用的是重力，必须满足重力相似准则流量比尺27900605.25.2lQ)s/L(8.35)s/m(0358.027900/1000/3QpmQQlHHmp/)m(8.4)cm(480860mpHHl流速比尺75.7605.0lv)s/m(75.775.71mpvvv例4.3.2有一圆管直径为20cm，输送ν=0.4cm2/s的油，流量为12L/s。采用20℃的水(ν=0.01003cm2/s)和空气（ν=0.17cm2/s），在实验室中用5cm直径的圆管作模型试验，试求模型流量各为多少才满足粘滞力作用的相似？mpRe=RemmmpppdVdV1m1mppp1mddVV)s/cm(83.354.001003.020420/101223)s/cm(5.7583.354321mvAQ)s/cm(92.6454.017.020420/1012232mV)s/cm(6.127492.6454322mQ§4-4量纲分析•量纲与单位量纲表示物理量的性质和类别。单位是量度物理量的基准。基本物理量和导出物理量。任何物理量都是由量纲和单位两个因素构成。•基本量纲与导出量纲基本量纲：长度、质量和时间的量纲L、M和T。基本量纲的选定并不是固定不变的。例如M、V和T也可以同时选作基本量纲,L、V和T就不能同时选作基本量纲后者中V=L/T，V与L、T之间不是互相独立的。这里的速度量纲V称为导出量纲。任何一个物理量的量纲A，都可以用基本量纲的指数形式表示出来：tlmATLMdim0,0,0tlm0,0,0tlm0,0,0tlm对几何量对运动学量对动力学量对无量纲数（各种相似准数）1TLMdim000A•无量纲量•无量纲量由两个具有相同量纲的物理量相比得到。•无量纲量也可由几个有量纲物理量乘除组合。1TLMdim000A1TLLLTdimRedim121vd•量纲和谐原理凡是正确反映客观规律的物理方程式，其各项的量纲都必须是相同的或是一致的，换言之，只有方程式两边的量纲相同，方程式才成立，此称为量纲和谐原理。whgvgpzgvgpz222222221111量纲和谐原理不成立，单纯根据实验观测资料所建立的经验公式。24000221.00337.011001775.0ttzuuyuuxuutuuxpXxzxyxxxx21量纲和谐原理可引伸出以下两点推论：•凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无量纲项组成的无量纲方程。•量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物理量之间的关系。一个正确完整的物理方程中，各物理量量纲之间的关系是确定的，根据物理量量纲之间的确定关系，就可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析方法利用量纲和谐原理分析液流物理量之间的关系并在一定程度上导得描述水流运动的物理方程式。•瑞利（Rayleigh）方法•布金汉（E.Buckingham）π定理前者适用于涉及的物理量较少的情况，后者的适用性则更广泛些。1.瑞利方法瑞利方法是直接用量纲和谐原理建立物理量间的函数式。例4.4.1试用瑞利方法推导圆形孔口出流的流速表达式。根据对孔口出流现象的观察分析，可以认为通过孔口的流速v与下列因素有关：孔口的作用水头H，重力加速度g，水的密度ρ及动力粘度μ，即),,,(gHfv先将上式表示为幂指数乘积的形式将式中各物理量的量纲都用基本量纲M、L、T表示根据量纲和谐原理，等式两边同类基本量纲的指数应该相同dcbagkHv1LT0Mdc：13Ldcba：12Tdb：ddcbadbdc232131,221,a)(Lb)LT(2c)ML(3d)TML(11φ为流速系数，可由水力学试验确定其数值。ddddgkHv)2/2/1()2/32/1(dgHvgkH)/(2/12/32/12/1dddkvHgHkgHvkRe2)(12)/(212/12/12/3gHv2例4.4.2如图所示圆管中水流，试用瑞利方法推导沿圆管壁面切应力τ0的表达式。圆管壁面上的切应力τ0与下列物理量有关：圆管的直径D，管中断面平均流速v、液体的密度ρ、动力粘度μ及用平均突出高度△表示的管壁的粗糙度。),,,v,(0Df先将上述函数关系表达为幂指数的乘积形式将式中各物理量的量纲都用基本量纲M、L、T表示根据量纲和谐原理，等式两边同类基本量纲的指数应该相同edcbakDv0edcba)L()TML()ML()LT()(LTML11312-1dbedcbadc)T()L()M(3