水力学第十章

第十章液体运动的三元分析§10-1液体微团运动的基本形式§10-2无涡流与有涡流§10-3液体三元运动的连续方程§10-4理想液体的运动微分方程§10-6恒定平面势流§10-1液体微团运动的基本形式液体质点与液体微团的区别液体质点：是可以忽略线性尺寸效应的液体最小单元。液体微团：是液体质点组成的具有线性尺寸效应的最小液体团。刚体运动与液体运动的区别刚体运动：平移运动和旋转运动。液体运动：平移运动和旋转运动，变形运动。DACBdxdyuxuyudtxA'B'D'C'udtyxyO平移运动B点流速C点流速xxuudxxyyuudxxxxuudyydyyuuyyux,uy为平移速度xxuudxxyyuudxxxxuudyyyyuudyy变形运动•线运动线变形速度•剪切变形运动剪切变形速度DACBdxdyuxuyudtxA'B'D'C'udtyxyOxxuudxxyyuudxxyyuudyyxxuudyyxudxdxdtxxudydydtyyudxdtxxudydty线变形速度zueyuexuezzzyyyxxx,,dt时段后AB边在x方向上的伸长(或缩短)为xudxdtxxudxdtdxdtxuexxxx单位时间单位长度的线变形称为线变形速度。剪切变形速度A点角速度dtBACCAB'''dtxudxdtxudxdxdtxuyxydtyudydtyudydydtyuxyx平面上角变形速度的一半为剪切变形速度。dtxuzueezuyueeyuxueezxxzzxyzzyyzxyyxxy212121液体微团的剪切变形速度yuxudtexyxy2121XY平面的剪切变形速度旋转运动液体微团上两条线旋转角速度的平均值定义为液体微团的旋转角速度。单位时间内AB边的旋转角度单位时间内AC边的旋转角度dt/xuy/dt/yux/yuxuxyz21u21rotkjizyxzyxuuuzyxkjirotu旋转角速度xuzuzuyuzxyyzx2121举例1：理想液体在收缩管中的流动图10.1.2当液体微团由A移动到B点时,只有伸缩变形,而没有剪切变形和旋转运动。微团上的两条直线1与2之间的夹角及其方向没有变化。图10.1.3举例2：旋转水桶中的水流运动当液体微团由A移动到B点时,有旋转运动而没有剪切变形。ur直线1、2始终保持垂直，夹角没有变化而两条直线的方向发生了变化。举例3：水轮机导轮中的水流运动液体微团由A移动到B时,无旋转运动而有剪切变形。图10.1.4αδδα1ur直线1沿流线顺时针方向旋转一个角度δα，则直线2逆时针方向旋转相同的角度，而二者的夹角发生了变化。速度分解定理用液体微团基本运动形式表示液体微团内任意相邻两点之间速度关系的定理。,,pxyz,,xyzuuuu,,Qxdxydyzdz,,xyzududududuxxxxyyyyzzzzuuududxdydzxyzuuududxdydzxyzuuududxdydzxyzxxxxyyyyzzzzuuududxdydzxyzuuududxdydzxyzuuududxdydzxyz1122xxxxxxuuuuududxdydzxyyzz11221122yxxxzxyxxzuuuuududxdydzxyxzxuuuudzdyzxxy11221122xxxxxxyyzzuuuuududxdydzxyyzzuuuudydzxxxxxuexxxyuxueexyyxxy21xuzuzxzxy2111221122yxxxzxyxxzuuuuududxdydzxyxzxuuuudzdyzxxyxuzueezxxzzx21yuxuxyxyz21()()xxxyxzzxyduedxedyedz1122112211221122yxxxzxyxxzyyyxzyyyxzuuuuududxdydzxyxzxuuuudzdyzxxyuuuuududydxdzyxyyzuuuudxdzxyyzdu11221122yxzzzzyxzzuuuuudzdydxzyzzxuuuudydxyzzxzueyuexuezzzyyyxxx,,xuzueezuyueeyuxueezxxzzxyzzyyzxyyxxy212121yuxuxuzuzuyuxyxyzzxzxyyzyzx212121dzedyedxedudzedyedxedudzedyedxeduzzxyzyzxzxyzyyzxyyyzxzxyxxxdzedyedxeuduuudzedyedxeuduuudzedyedxeuduuuzzxyzyzxzzzzQxyzyyzxyyyyyQyzxzxyxxxxxxQ速度分解定理(亥姆霍兹定理)P（x,y,z）点的邻近点Q(x+dx,y+dy,z+dz)的速度由三部分组成：(1)与P点相同的平移速度；(2)变形在Q点引起的速度；(3)绕P点旋转在Q点引起的速度。rdSrdurotuuPQ21例10.1.1已知二元平板间层流运动的流速分布为其中h为两平板间的距离的一半。试求：该流动中液体微团所具有的运动形式。uxmaxuxx1212BAyohh2max21,0xxyyuuuh例题：已知一平面流动，其流速场为：试判断流动是否有旋，是否有变形。103xyuyux11(310)6.5022yxzuuxy0,0yxxxyyuueexy31070yxxyuuexy流动有旋流动没有线变形流动有剪切变形§10-2无涡流与有涡流若液体流动时每个液体微团不存在绕自身轴的旋转运动,,0xyz此流动称为无涡流，也称为无旋流；若液体流动时每个微团都存在着绕自身轴的旋转运动，则称此流动为有涡流，也称有旋流。注意：涡是指液体微团绕自身轴旋转的运动，不要将涡与液体质点运动的轨迹相混淆。(a)(b)(c)xy例1：剪切流动速度场：0yxuayua是常数，流线是平行x轴的直线。02121ayuxuxyz流动是有旋的例2：点涡运动速度场：rbvvr0b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。yuxuxyz21流动是无旋的xyvyuyrruxuxrruxxyy21210021021021yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzxyuxuxuzuzuyuxyzxyz,,dzudyudxudzyxdzzdyydxxdzuyuxuzyx,,无涡流gradukzjyixkujuiuzyx,,;xyzt矢量形式称为流速势函数无涡流中存在着流速势函数，无涡流也称为势流。求解无涡流问题也就归结为求流速势函数,,;xyzt有涡流•涡线0),,(zyx在同一时刻，涡线上所有空间点处的旋涡向量与该曲线相切。涡线微分方程),,(),,(),,(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx；；；•涡管在涡场中通过某一闭曲线上各点的涡线所形成的管称为涡管。•元涡横断面面积很小的涡管内的流体称为元涡或者涡束。•涡量将元流的横截面面积dA与2倍旋涡矢量ω的点积定义为元涡的涡量或涡管强度。整个涡管横断面上的涡量或涡管强度AnAdAAdJ22•速度环量速度矢量沿封闭曲线s的线积分，称为速度环量。szyxsdzudyudxusdu)(速度环量是标量。速度方向与积分路径方向一致时为正。取逆时针方向积分路径为正，逆时针方向的速度环量为正。无涡流的速度环量当流动为无涡流，即势流时zuyuxuzyx,,ssszyxsddzzdyydxxdzudyudxusdu)(当流速势函数φ为单值时，Γ为零。速度环量与涡量之间的关系斯托克斯公式AnAsdAAdsdu22速度矢量沿封闭曲线s的环量等于旋涡矢量通过张于s上的曲面A的通量。通过分析速度环量来研究有涡流更为方便。速度环量是线积分，被积函数是速度本身，而涡量是面积分，被积函数是速度的偏导数；液体微团的速度可以测量，涡量和液体微团的旋转角速度不能直接测量。只有当液体微团的旋转角速度为常数时，通过计算涡量求速度环量才更显简便。§10-3液体三元运动的连续方程应用控制体概念根据质量守恒定律，推导液体三元运动连续方程。0zuyuxutzyxzyxodxdydzMRMML对于不可压缩液体0zuyuxuzyx0ut0)u(divt0udiv§10-4理想液体的运动微分方程DtDuzuuyuuxuutuzpZDtDuzuuyuuxuutuypYDtDuzuuyuuxuutuxpXzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx111欧拉运动微分方程0zuyuxuzyx不可压缩液体的连续方程葛罗米柯运动微分方程xuux