2015届高考数学大一轮复习课时训练76参数方程理苏教版

1课时跟踪检测(七十六)参数方程(共2页)1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．(2014·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为x＝5＋32t，y＝12t(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．3．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是x＝2＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)和x＝cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．24．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)试分别将曲线C1的极坐标方程ρ＝sinθ－cosθ和曲线C2的参数方程x＝sint－costy＝sint＋cost(t为参数)化为直角坐标方程和普通方程；(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C1和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点)．5．(2014·福州模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知直线l的参数方程为x＝－1＋tcosπ6，y＝tsinπ6(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．6．(2014·辽宁模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l：θ＝π4与曲线C：x＝t＋1y＝t－2(t为参数)相交于A，B两点．(1)写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求线段AB中点的极坐标．7．(2014·郑州模拟)在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐3标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．8．(2014·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是x＝acosφ，y＝3sinφ(φ为参数，a0)，直线l的参数方程是x＝3＋t，y＝－1－t(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π3)，C(ρ3，θ＋4π3)在曲线C上，求1|OA|2＋1|OB|2＋1|OC|2的值．答案1．解：因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.解方程组y＝x－，y2＝2x，得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．2．解：(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x；4由x＝5＋32t，y＝12t(t为参数)，得y＝13(x－5)，即直线l的普通方程为x－3y－5＝0.(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ|＝222－322＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.3．解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(x－2)2＋y2＝4和x2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4cosθ和ρ＝2sinθ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cosα，α)，Q(2sinα，α)，所以|OP|＝|4cosα|，|OQ|＝|2sinα|.从而|OP|·|OQ|＝|4sin2α|≤4，当且仅当sin2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．解：(1)由题意可得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＋x－y＝0，曲线C2：sint＝x＋y2，cost＝y－x2.即x2＋y2＝2.(2)由(1)知曲线C1、曲线C2均为圆，圆心分别为－12，12、(0,0)，半径分别为22、2，则两圆的圆心距为－122＋122＝22＝2－22，所以圆C1：x2＋y2＋x－y＝0与圆C2：x2＋y2＝2内切．5所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C2的直径22.5．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连结OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|cos∠BOM，所以ρ＝2cosθ.可以验证点O(0，π2)，B(2,0)也满足ρ＝2cosθ，故ρ＝2cosθ为所求圆的极坐标方程．(2)由x＝－1＋tcosπ6，y＝tsinπ6(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝33(x＋1)，即直线l的普通方程为x－3y＋1＝0.由ρ＝2cosθ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝|1×1－3×0＋1|2＝1，所以直线l与圆C相切．6．解：(1)由题意得射线l的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，则射线l的参数方程为x＝22t，y＝22t(t≥0，t为参数)，曲线C的直角坐标方程为y＝(x－2)2.(2)由y＝x，y＝x－2得x＝1，y＝1和x＝4，y＝4，∴可令A(1,1)，B(4,4)，∴线段AB中点的直角坐标为(52，52)，6∴线段AB中点的极坐标为(522，π4)．7．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcosθ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.直线l的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)．将x＝－1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8tcosα＋12＝0.∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，∴cosα≥32或cosα≤－32.∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是0，π6∪5π6，π.(2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，其参数方程为x＝3＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝3＋2cosθ＋2sinθ＝3＋22sin(θ＋π4)，∴x＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．8．解：(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)．又曲线C的普通方程为x2a2＋y23＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是x24＋y23＝1.(2)因为点A(ρ1，θ)，Bρ2，θ＋2π3，Cρ3，θ＋4π3在曲线C上，即点A(ρ1cosθ，ρ1sinθ)，Bρ2cosθ＋2π3，ρ2sinθ＋2π3，Cρ3cosθ＋4π3，ρ3sinθ＋4π3在曲线C上．故1|OA|2＋1|OB|2＋1|OC|2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ237＝14cos2θ＋cos2θ＋2π3＋cos2θ＋4π3＋13sin2θ＋sin2θ＋2π3＋sin2θ＋4π3＝141＋cos2θ2＋1＋cos2θ＋4π32＋1＋cos2θ＋8π32＋131－cos2θ2＋1－cos2θ＋4π32＋1－cos2θ＋8π32＝14×32＋13×32＝78.