2016版高考数学大二轮总复习专题八系列4选讲第2讲

第2讲矩阵与变换1．(2015·福建)已知矩阵A＝2143，B＝110－1.(1)求A的逆矩阵A－1；(2)求矩阵C，使得AC＝B.2．(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝1－1是矩阵A＝x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点一常见矩阵变换的应用1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵b11b21的乘法规则为[a11，a12]b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxy＝ax＋bycx＋dy.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：xy→x′y′.2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．例1已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．思维升华把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．跟踪演练1已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝1201对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且Ax0y0＝x0y0，求点P的坐标．热点二二阶矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝abcd(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组ax＋by＝m，cx＋dy＝n(ad－bc≠0)，若将X＝xy看成是原先的向量，而将B＝mn看成是经过系数矩阵A＝abcd(ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX＝B，abcdxy＝mn，则X＝A－1B，其中A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.例2设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a，b的值．思维升华对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵．因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解．跟踪演练2已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.热点三求矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ0)，或者方向相反(λ0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．(3)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝abcd的一个特征值，它的一个特征向量为α＝xy，则Axy＝λxy，即xy满足二元一次方程组ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy，故λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D＝0，即λ－a－b－cλ－d＝0.定义：设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc.称为A的特征多项式．(4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解x0y0，于是，非零向量x0y0即为A的属于λ的一个特征向量．例3已知矩阵A＝1－1a1，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．思维升华(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ0)，或者方向相反(λ0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．(2)计算矩阵M＝abcd的特征向量的步骤如下：①由矩阵M得到特征多项式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d；②求特征多项式的根，即求λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程λ－ax－by＝0－cx＋λ－dy＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M对应的特征向量．跟踪演练3(2014·福建)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝2112.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．1．已知点A在变换T：xy→x′y′＝x＋2yy作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3,4)，求点A的坐标．2．已知矩阵A＝1－3－1－1，B＝1201.(1)求(AB)－1；(2)求直线2x＋y－5＝0在(AB)－1对应变换作用下的直线方程．提醒：完成作业专题八第2讲二轮专题强化练第2讲矩阵与变换A组专题通关1．求将曲线y2＝x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M＝0110，N＝0－110.3．已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)．(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标．4．设A＝2142，问A是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵．5．(2014·江苏)已知矩阵A＝－121x，B＝112－1，向量α＝2y，x，y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．B组能力提高7．已知曲线C：y2＝2x，在矩阵M＝1002对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝0－110对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．8．设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a0b1(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．学生用书答案精析第2讲矩阵与变换高考真题体验1．解(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝32－12－4222＝32－12－21.(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝32－12－21110－1＝322－2－3.2．解由已知，得Aα＝－2α，即x1y01－1＝x－1y＝－22，则x－1＝－2，y＝2，即x＝－1，y＝2，所以矩阵A＝－1120.从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.热点分类突破例1解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy＝1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P′(x′0，y′0)，则x0′y0′＝cos45°－sin45°sin45°cos45°x0y0＝22－222222x0y0＝22x0－22y022x0＋22y0.∴x′0＝22x0－22y0，y′0＝22x0＋22y0，∴x0＝22x′0＋y′0，y0＝22y′0－x′0.又x0y0＝1，∴22(y′0＋x′0)×22(y′0－x′0)＝1.∴y′20－x′20＝2，即曲线C：xy＝1旋转后所得到的曲线C′的方程为y2－x2＝2.(2)曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x.再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标为(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为x＝0，y＝0.跟踪演练1解(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由x′y′＝1201xy＝x＋2yy，得x′＝x＋2y，y′＝y.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，依题意得a＝1，b＋2＝1，解得a＝1，b＝－1.(2)由Ax0y0＝x0y0，得x0＝x0＋2y0，y0＝y0，解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．例2解(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝x1y1x2y2，则MM－1＝1001.又M＝2003，所以2003x1y1x2y2＝1001.所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝120013.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则a00bxy＝x′y′，即ax＝x′，by＝y′.又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1.则a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.又a0，b0，所以a＝2，b＝1.跟踪演练2解设矩阵A的逆矩阵A－1＝abcd，则－1002abcd＝