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萧绯初升高自主招生收藏卷第1页（共15页）湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．2．下列命题中正确的个数有（）①实数不是有理数就是无理数；②a＜a+a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数．A．1个B．2个C．3个D．43．某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游．甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费．若这两家旅行社每人的原标价相同，那么（）A．甲比乙更优惠B．乙比甲更优惠C．甲与乙相同D．与原标价有关4．如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．45．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36B．37C．38D．39二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）6．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过小时，两人相遇．7．若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是．萧绯初升高自主招生收藏卷第2页（共15页）8．某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是．纸笔测试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088909．已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB（O为坐标原点），则△AOB的面积为．10．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数P的值是11．如图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是．12．已知x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+55=．13．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（共6小题，满分72分）14．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连接CD，如果AD=1，求：tan∠BCD的值．萧绯初升高自主招生收藏卷第3页（共15页）15．（12分）（2005•河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？16．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1，为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．17．如图所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．求证：△PQS是等边三角形．萧绯初升高自主招生收藏卷第4页（共15页）18．如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．萧绯初升高自主招生收藏卷第5页（共15页）2011年湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．版权所有【专题】压轴题．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．下列命题中正确的个数有（）①实数不是有理数就是无理数；②a＜a+a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数．A．1个B．2个C．3个D．4【考点】实数．版权所有【分析】根据定义一一判定即可．【解答】解：①实数包括有理数和无理数，故说法正确；②当a≤0时，a+a≤a，故选项错误；③正数的平方根由两个，且互为相反数，故说法正确；④实数可分为：正数、负数和0、非负数即正数和0，故说法错误；⑤中，两个互为相反数的无理数和为0，故说法错误．此题共有①和③正确，故选B．【点评】此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：（1）实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0；（2）正数的平方根由两个，且互为相反数．萧绯初升高自主招生收藏卷第6页（共15页）3．某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游．甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费．若这两家旅行社每人的原标价相同，那么（）A．甲比乙更优惠B．乙比甲更优惠C．甲与乙相同D．与原标价有关【考点】列代数式．版权所有【专题】计算题．【分析】因为原票价相同，所以先设原票价都为x元，根据甲、乙收费情况分别列出代数式进行比较，得出答案．【解答】解：设原票价都为x元，则按甲告知，票总价为：x+x+x=2.5x，按乙告知，票总价为：3x•80%=2.4x，2.5x＞2.4x．所以乙比甲优惠．故选B．【点评】此题考查了学生对列代数式的理解与掌握，解此题的关键是先由已知列出两种情况的代数式，再进行比较得出结论．4．如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【考点】切线的性质；角平分线的性质；解直角三角形．版权所有【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．萧绯初升高自主招生收藏卷第7页（共15页）5．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36B．37C．38D．39【考点】直线、射线、线段．版权所有【专题】压轴题；规律型．【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8=36则m+n=1+36=37故答案B．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）6．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过2小时，两人相遇．【考点】二元一次方程组的应用；有理数的除法．版权所有【分析】本题中涉及到三个量路程、速度、时间，因为已知路程为65千米，两人的速度和是32.5千米/时，所以经过65÷32.5=2小时，两人相遇．【解答】解：65÷32.5=2（小时）．故答案为：2．【点评】此题是一道关于路程的相遇问题，需用到相遇时间=总路程÷速度和．7．若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是1≤x≤4．【考点】二次根式的性质与化简；实数的性质．版权所有【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．【解答】解：∵|1﹣x|﹣=|1﹣x|﹣=2x﹣5，则|1﹣x|﹣=x﹣1+x﹣4，即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤x≤4．【点评】此题难点不是根据x的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求x的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握．萧绯初升高自主招生收藏卷第8页（共15页）8．某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是甲、乙．纸笔测试实践能力成长记录甲908395乙889095丙908890【考点】加权平均数．版权所有【专题】图表型．【分析】分别计算三人的加权平均数，然后与90比较大小即可．【解答】解：由题意知，甲的学期总评成绩=90×50%+83×20%+95×30%=90.1，乙的学期总评成绩=88×50%+90×20%+95×30%=90.5，丙的学期总评成绩=90×50%+88×20%+90×30%=89.6，故答案为甲、乙．【点评】本题考查了加权成绩的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．9．已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB（O为坐标原点），则△AOB的面积为．【考点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有【专题】计算题．【分析】此题应先求出在第一象限内的交点坐标，再由三角形的面积公式求解即可．【解答】解：根据题意可知：x=，解得x=±．∵点A在第一象限内，∴A（，），即OA=2，∴OA=OB=2．∴△AOB的面积为×2×=．故答案为：．【点评】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题与三角形面积的结合，有一定的综合性．10．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数P的值是±7或±8或±13【考点】因式分解的应用．版权所有【分析】把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和．【解答】解：∵把12分成两个整数乘积的形式有：1×12；（﹣1）×（﹣12）；2×6；（﹣2）×（﹣6）；3×4；（﹣3）×（﹣4），∴p的值为1+12=13；﹣1﹣12=﹣13；2+6=8；﹣2﹣6=﹣8；3+4=7；﹣3﹣4=﹣7，∴p的整数值为±7