2015年中考数学精英专题 (3)

2015年中考数学精英专题（3）专题四阅读理解问题强化突破1．(2013·呼和浩特)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……依此规律，第11个图案需(B)根火柴．A．156B．157C．158D．1592．(2014·济宁)“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是(A)A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b3．(2013·常德)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2＝18＋7－6－5＝415＋14＋13－12－11－10＝924＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16……根据以上规律可知第100行左起第一个数是__10200__.4．(2013·南京)计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是__16__．5．(2013·龙岩)对于任意非零实数a，b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2＝－32，2⊕1＝32，(－2)⊕5＝2110，5⊕(－2)＝－2110，…，则a⊕b＝__a2－b2ab__．6．(2014·宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny，据此判断下列等式成立的是__②③④__．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.7．(2014·白银)阅读理解：我们把abcd称作二阶行列式，规定它的运算法则为abcd＝ad－bc.如2345＝2×5－3×4＝－2.如果有23－x1x＞0，求x的解集．解：由题意得2x－(3－x)＞0，解得x＞18．(2014·扬州)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋by2x＋y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a×0＋b×12×0＋1＝b.(1)已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.①求a，b的值；②若关于m的不等式组T（2m，5－4m）≤4，T（m，3－2m）＞p恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；(2)若T(x，y)＝T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)，T(y，x)都有意义)，则a，b应满足怎样的关系式？解：(1)①据T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1得a－b＝－2，4a＋2b＝10，解得a＝1b＝3②∵T(x，y)＝x＋3y2x＋y，由题意可得m＋3（3－2m）3＞p，2m＋3（5－4m）5≤4，∴m＜9－3p5，m≥－12，要使得整数解恰好有3个必须满足9－3p5＞2，9－3p5≤3，解得－2≤p＜－13(2)由T(x，y)＝T(y，x)得ax＋by2x＋y＝bx＋ay2y＋x，整理得ax2＋2by2＝2bx2＋ay2，由于上式对实数x，y都成立，∴a＝2b，故存在非零实数a，b且满足a＝2b9．(2014·嘉兴)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°，求∠C，∠D的度数；(2)在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．(3)在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．解：(1)∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D＝∠B＝80°，∴∠C＝360°－70°－80°－80°＝130°(2)①连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD②不正确，反例：如图1，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD(3)分两种情况：(Ⅰ)如图2，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，∴AE＝10，∴DE＝AE－AD＝10－4＝6，∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴CD＝23，∴AC＝AD2＋CD2＝42＋（23）2＝27；(Ⅱ)如图3，当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴AE＝2，DE＝23，∴BE＝AB－AE＝5－2＝3，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝23，∵∠BCD＝60°，∴CF＝3，∴BC＝CF＋BF＝3＋23＝33，∴AC＝AB2＋BC2＝52＋（33）2＝21310．(2014·长沙)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(1，1)，(－2，－2)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝nx(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s为常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋15748，试求t的取值范围．解：(1)y＝4x(2)由y＝3kx＋s－1得当y＝x时，(1－3k)x＝s－1，当k＝13且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝13且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠13，方程的解为x＝s－11－3k，此时的“梦之点”存在，坐标为(s－11－3k，s－11－3k)(3)由y＝ax2＋bx＋1，y＝x得ax2＋(b－1)x＋1＝0，则x1，x2为此方程的两个不等实根，∴x1＋x2＝1－ba，x1x2＝1a，由|x1－x2|＝2，又－2＜x1＜2，∴－4＜x2＜4，∴－8＜x1x2＜8，∴－8＜1a＜8，又a＞0，∴a＞18.由|x1－x2|＝2，得(b－1)2＝4a2＋4a，t＝b2－2b＋15748＝(b－1)2＋10948＝4a2＋4a＋10948＝4(a＋12)2＋6148，当a＞－12时，t随a的增大而增大，当a＝18时，t＝176，∴a＞18时，t＞176