2016计算方法复习题

2016计算方法复习题第1页共3页1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。（1）)ln()1ln(xx，其中x较大（2）xx12，其中x较大（3）)(sin)(cos22xx，其中4/x（3）2cos12、已知函数方程0)ln(3)(xxxf有一正根，请完成以下几方面的工作：（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a0,b0]，以便于用二分法求解；（2）验证在[a0,b0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式)(1kkxx。注意：二分法与简单迭代法的收敛条件3、用Doolittle分解法求解线性方程组564221231112321xxx（要求写明求解过程）。注：系数矩阵A分解为LU的条件是A的各阶主子式（行列式）不等于0。4、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据x0.00.51.01.52.0y1.001.652.724.4812.18（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（搞清楚各阶差商的计算方法）（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(0.75)的近似值；（3）若用bxaey来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：两边取自然对数得lny=lna+bx，令u=lny，问题转化为求拟合直线u=lna+bx）；（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20)(dxxf的近似值。注意：还要熟练掌握一、二次拉格朗日插值的计算方法；用插值函数计算数值导数的方法。5、若用Jacobi迭代法求解线性方程组341182105zyxzyxzyx：（1）能否从系数矩阵判定Jacobi迭代求解是收敛的？请说明原因；（2）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式fBXXkk1；（3）求出迭代矩阵B的行范数B和列范数1B，并说明B能否保证收敛。注意：向量和矩阵的常用范数的计算方法；Jacobi迭代收敛的充要条件是什么？简单矩阵的谱半径（按模最大特征值）的计算方法（解特征多项式方程的方法）6、用规范化幂法求矩阵1403A的按模最大特征值，使误差不超过1105.0。初始向量取为V(0)=(1,1)T。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）7、用改进欧拉法求初值问题0.1)0.0(/yxydxdy在区间[0.0,1.0]上的解，取步长h=0.2。计算结果保留到小数点后面3位。第页共页9、已知函数方程052)(3xxxf在区间[2，3]上有根（令a0=2，b0=3）：（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式)(1kkxx。（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并取初值x0，完成第1次迭代计算。另注意：牛顿迭代格式的构造方法；用牛顿插值计算a的方法。10、分别用Gauss消元法和Doolittle分解法求解线性方程组274613312111321xxx。11、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据x0.00.51.01.52.0y1.001.493.015.488.99（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(1.25)的近似值；（3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20)(dxxf的近似值。（4）若用y=a+bx2来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：令v=x2，问题转化为求拟合直线y=a+bv）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题）13、若用Jacobi迭代法求解线性方程组1052151023210zyxzyxzyx：（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式fBXXkk1；（2）求出迭代矩阵B的行范数B和列范数1B，并说明B能否保证迭代收敛。（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi迭代法收敛？请说明理由。（4）取初始向量(1，1，1)T，用Gauss-Seidel迭代法完成3步迭代计算注意：Gauss-Seidel迭代法对Jacobi迭代法的改进过程。另：如果原系数矩阵A是对角占优阵，则可判定Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都能收敛。14、写出用反幂法),2,1,0(,/)()1()()()(kUAVVVUkkkkk求矩阵0235A的按模最小特征值的前两步迭代计算过程与结果。初始向量取V(0)=U(0)=(1,1)T。（提示：先对A作LU分解）15、用改进欧拉法求初值问题0.1)0.0(/2yydxdy在区间[0.0,0.4]上的解，取步长h=0.1。计算结果保留到小数点后面3位。18、若取初值I0=ln6-ln5，按式In=(1/n)-5In-1(n=1,2,3，…)递推计算，试估算I1和I2的误差（取ln61.79，ln51.61），并说明此递推式的数值稳定性。19、已知05.00.2,05.00.10,05.00.5zyx，若计算zyxv2，求v的绝对误差限和相对误差限。第页共页20、对于矩阵312143237A，请完成规范化幂法的前两步迭代计算，即取初始向量为V(0)=U(0)=(1,1,1)T，求出V(1)、U(1)和V(2)。22、关于函数)(xfy已知如下数据表：xi0.000.250.500.751.00yi1.00000.98960.95880.90880.8415用柯特斯积分C(f)计算0.10.0)(dxxf的近似值，要求从复化梯形积分外推到复化辛普森积分，再由复化辛普森积分外推计算C(f)。（如果给定8个等距点及函数值，龙贝格积分如何计算呢？）23、现有一批实验数据如下表：xi0.000.200.400.600.801.00yi0.4990.5550.6250.7140.8341.001请用函数曲线bxay1拟合这一批节点（提示：先对拟合曲线做线性化处理）。