生物神经元放电活动的非线性动力学研究

中国力学学会学术大会2007(CCTAM2007)41生物神经元放电活动的非线性动力学研究陆启韶1)(北京航空航天大学理学院，北京100083)生物神经系统是由数量巨大的神经元相互联结的极其复杂的多层次的信息网络系统，神经元在神经活动中起着重要的基本作用。神经系统的放电活动主要表现为神经元产生和传输动作电位脉冲串(即张弛振荡)的过程，神经信息编码是通过神经元放电脉冲的时间节律和振荡模式反映的，因此与神经认知行为研究密切相关。神经元是高度非线性的系统，其放电活动涉及复杂的物理、化学过程以及受到大量因素的影响。长期以来，人们通过神经细胞、感受器和大脑等的电生理实验积累了大量的实验资料。20世纪50年代以来，神经科学家相继提出和改进了一些重要的生物神经电生理的理论模型，在神经元的理论分析、数值模拟和实验结果中，发现了周期、拟周期、混沌、阵发、整数倍等一系列放电节律和转迁过程，这充分表明了神经电活动的高度非线性和复杂性，需要进行全面、系统的研究。神经动力学是研究神经放电活动的重要理论基础。神经系统的放电活动和信息识别提出了一系列崭新的问题，人们需要创造性地运用非线性动力学的概念﹑理论和方法，才能更深入揭示神经活动的非线性本质，开辟现代神经科学研究的新途径。神经系统的放电过程中复杂非线性行为的跨学科交叉领域研究，对非线性科学和神经科学、信息科学的发展都具有巨大的推动作用和重要的理论意义。本文简要介绍神经元放电活动和神经动力学的基本特点，然后围绕本课题组的一些工作，介绍生物神经元放电节律的分岔分析方法、神经元耦合系统的同步和时空模式的一些研究结果。关键词非线性动力学，神经元，放电节律，耦合，同步，时空模式1)E-mail:[e-mail]中国力学学会学术大会2007(CCTAM2007)42弹性杆的Lyapunov动态稳定性1)刘延柱2)(上海交通大学工程力学系，上海200030)弹性杆平衡问题的Kirchhoff动力学比拟理论将弹性杆的变形理解为刚性截面沿弧坐标运动过程中的姿态变化。基于此理论，将动力学中的时间变量t置换为一维空间变量的弧坐标s，任何动力学研究方法，包括Lyapunov运动稳定性理论在内，均可移植到弹性杆的静力学分析。时间变量t置换为弧坐标s以后，以离散系统为对象的Lyapunov运动稳定性理论转化为以弹性杆平衡为对象的静态稳定性理论。但用Lyapunov稳定性理论分析压杆得出的压杆稳定拉杆不稳定结论与材料力学的传统结论相悖，从而引起质疑。其原因在于Lyapunov稳定性与判断弹性杆屈曲的Euler稳定性是完全不同的两种稳定性概念。但深入分析表明，Euler失稳状态与满足Lyapunov稳定性条件的受扰挠性线为同一概念。在满足Lyapunov稳定性条件的前提下，保证受扰挠性线满足端部约束条件的特殊载荷值即为Euler载荷。从Lyapunov稳定性概念出发可以导出较受压直杆更为复杂的弹性构件，例如受压或受扭螺旋杆的Euler载荷。在动力学领域内讨论弹性杆的平衡稳定性时，必须同时考虑时间变量t。则Kirchhoff弹性杆转化为带有s,t双重自变量的离散系统。为分析弹性杆的动态稳定性，必须将时域内的Lyapunov稳定性的定义和定理扩展到双自变量离散系统。这种扩展在形式上并不难实现，但要在此基础上创造出有实际意义的稳定性判别方法则非易事。如Lyapunov稳定性理论重要内容之一的Lyapunov直接方法，尚难以扩展到双自变量系统。能实际使用的判别方法只有一次近似稳定性理论。利用指数形式的扰动量特解()0(,)exp(1,,)iixstxswtinλ=+=L(1)代入线性化扰动方程，可导出包含2个待定的特征值λ和w的特征方程，其一般形式为42()()()0awbwcλλλ++=(2)讨论弹性杆的静态稳定性时，可令特解(1)中0w=，则静力学分析对应的特征方程仅含空间域特征值λ，简化为()0cλ=(3)从中可导出螺旋杆平衡的静态稳定性条件和相应的Euler载荷。满足Lyapunov稳定性的空间域特征值为纯虚根，ikλ=±，k为扰动量沿弧坐标周期变化的角频率。在动态稳定性讨论中，由于参数k已在静力学分析中由端部约束条件确定，系数(i),(i),(i)akbkck均为已知，特征方程(2)仅含时域特征值w。利用w的纯虚根条件20,0,0,40abcbac−(4)可导出弹性杆平衡的时域稳定性条件。其中的条件0c与静态特征方程0c=的区别仅在于将等号换作不等号。由于0c=导致Euler载荷，0c则要求载荷小于Euler载荷。从而得出结论：空间域内的静态Euler稳定性条件是时域内动态Lyapunov稳定性的必要条件。上述弹性杆动态Lyapunov稳定性的分析方法已实际应用于受压扭、受圆柱面约束、黏性介质内等各种条件下的螺旋杆，导出各种条件下的解析形式稳定性判据。也应用于分析弹性波在杆内的传播。将纯虚的时域特征值写作iwμ=±，参数μ与弹性杆的弯扭自由振动固有频率或弹性波传播速度相联系。而静态Lyapunov稳定性分析中导出的参数k则与自由振动模态相对应。对双自变量离散系统探求更严格和更有效的稳定性判别方法可望成为运动稳定性学科面临的新课题。1)国家自然科学基金(10472067)资助项目2)E-mail:[e-mail]中国力学学会学术大会2007(CCTAM2007)43非线性动力学理论的若干进展和展望刘曾荣1)(上海大学系统生物技术研究所，上海200444)非线性动力系统理论，在20世纪80~90年代形成高潮，对于促进动力学的分析起到了巨大作用。90年代下半期开始，随看科学发展，非线性动力学向纵深和新的方向发展。本文结合了我们的工作，总结了自90年代下半期开始以来，非线性动力学发展的若干进展，并作出一些展望。我们认为，近十年来非线性动力学理论在如下3方面得到了迅速发展。它们分别为：(1)混沌控制以及系统混沌化的理论以及应用。(2)由混沌同步所引发的关于各种各样同步理论和方法的研究。(3)复杂网络由所引发的关于网络结构及其网络上行为的研究。结合这些方向，我们也开展了相应的研究，主要得到如下有一定影响的结果：(1)混沌控制与系统混沌化国际上原创性的工作是解决嵌入混沌吸引子中具有稳定流形的双曲不动点(或周期点)的控制。我们是第一个研究超混沌系统完全不稳定不动点和周期点控制问题，提出了一种新的控制方法：直线控制法。我们与陈关荣教授合作一起研究连续系统的混沌反控制问题。利用Poincare映射、脉冲技术和离散系统的反控制方法，在国际上昀早提出了连续系统的混沌反控制方法，完成其理论证明。(2)混沌同步及有关问题我们研究由N个恒同网络的结点以线性排列结构连接所组成高维网络型时滞动力系统的同步现象，从理论上严格证明这种网络的同步能力由耦合矩阵的第二大特征值决定，并将所获的结果应用于混沌的耦合的CNN细胞神经网络型系统。另外，考虑由大量基本单元为节点所构成网络的聚类同步。对这个困难问题，目前国内外工作或是实验和数值，或是完全数学上存在性证明，没有见到可实现方法，我们通过特定方法构造网络的连接矩阵，证明了对于大规模的网络可以实现一切可能聚类同步。此时网络的连接矩阵具有合作和竞争特点，并且具有权重。(3)复杂网络及其有关问题我们主要集中研究具有周期变化的网络参数和外部输入的时滞网络模型。给出了动态的周期吸引子存在及其全局指数吸引的充分条件。网络上的行为，除同步外，还要关心网络上信息的传播，尤其是对于无标度网络上信息传播。由于结点的不同特性以及网络结构的非均匀性，我们做出更为合理假定，然后讨论相关信息传播，得到令人满意的结果，也发現了一些有趣的现象。(4)同步与斑图涌現关系涌现是复杂系统的共性，如何研究这一共性是科学上十分感兴趣的课题。在物理空间上的涌现表现为斑图，我们提出了斑图的出现与网络结点之间同步有关的观点。为此我们在一维和两维物理空间通过格点之间滞后同步导致了网络整体上的各种形式的波形式。我们认为在今后一段时间，非线性动力学发展将依托于复杂系统的研究。我们预见在网络建模和拓扑结构分析、网络上各种合作行为、决定性和随机性关系以及自适应理论几个方面会受到特别关心。1)E-mail:[e-mail]中国力学学会学术大会2007(CCTAM2007)44非线性非平面运动悬臂梁的复杂动力学研究1)张伟2)姚明辉(北京工业大学机电学院，北京100022)本文分别利用能量相位法和近可积Hamilton系统的广义Melnikov方法研究了非线性非平面运动悬臂梁的多脉冲同宿轨道和混沌动力学。首先，建立悬臂梁在参数激励和外激励联合作用下的非线性非平面运动控制方程；应用Galerkin方法把偏微分方程简化为两自由度的非线性系统；考虑第一阶模态的主参数共振-1/2亚谐共振和第二阶模态的基本参数共振-主共振情形，应用多尺度法把两自由度非线性系统转换成自治平均方程；利用规范形理论对平均方程进行简化得到较简单的规范形；利用Haller等人发展的能量相位法来分析非线性非平面运动悬臂梁的Shilnikov型多脉冲轨道，在分析过程中为了确保相图的拓扑结构等价性，我们改进了能量相位法；理论分析表明在平均方程的扰动相空间存在Shilnikov型多脉冲轨道。利用近可积Hamilton系统的广义Melnikov方法研究悬臂梁的多脉冲同宿轨道和混沌动力学，得到了在共振情况下判断非线性非平面运动悬臂梁产生多脉冲混沌运动的广义Melnikov函数，求解满足开折条件的零点。从理论上给出了这个系统产生Shilnikov型混沌的必要条件。发现在这个系统中存在着Shilnikov型混沌运动。数值分析表明非线性非平面运动悬臂梁的平均方程确实存在Shilnikov型多脉冲混沌运动，发现系统的阻尼和激励两个参数对系统出现多脉冲混沌运动影响较大，进一步验证了理论的研究结果，在三维相空间里存在Shilnikov型多脉冲混沌运动。利用实验方法研究了方形截面悬臂梁的混沌振动，在方形截面悬臂梁空间振动中发现了脉冲跳跃轨线。首先建立振动实验平台并完成振动实验，采集了在简谐激励下的振动信号，通过相图分析和频谱分析，确定了系统周期运动和混沌运动的振动状态，给出了实验条件下产生混沌运动的参数条件。1)国家自然科学基金(10372008，10328204)和国家杰出青年科学基金(10425209)资助项目2)E-mail:[e-mail]中国力学学会学术大会2007(CCTAM2007)45同伦分析方法：求解非线性问题的一个新途径廖世俊1)(上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海200030)描述一种新的、求解强非线性问题之解析方法—“同伦分析方法”之基本思想，简述其理论体系，如“解表达原则”，“系数遍历原则”，“解存在原则”，“收敛性定理”；以及“同伦分析方法”与其它非摄动方法，如“Lynapnov人工小参数展开法”、“AdomianDecompositionMethod”、“δ-ExpansionMethod”之关系。此外，简述“同伦分析方法”在求解诸如非线性振动、非线性特征值、非线性分岔、非线性波浪、非牛顿流体流动、边界层黏性流动、非线性热传导、孤立波、生物力学等领域的应用，并对一些疑难问题进行探讨。摄动法在时滞系统动力学中的应用王在华*,**,2)胡海岩***(解放军理工大学理学院应用数理系，南京211101)**(南京航空航天大学振动工程研究所，南京210016)摄动法是非线性动力学的重要内容，在求解非线性振动方程(组)的周期解的问题中具有重要的作用，这类方法也被越来越多的人应用于带有时滞的非线性方程(组)的求解中。研究这类问题的另一常用方法是中心流形约化方法，适用于各种时滞系统，但在许多情况下，摄动法的结构简单，计算过程易于实现，并且常常可以得到比中心流形方法更好的结果。本报告讨论多尺度法、平均法等经典摄动法在应用中的若干问题，重点介绍作者在这方面的研究新成果：以摄动法为基础的能量分析法和伪振