新湘教版七年级上册数学培优讲义

1七年级上册第一章有理数第一讲有理数益思对话认识数学领域中的中国面孔“一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现它的国力强大。”——（法）拿破仑自1840年鸦片战争始，腐败的清王朝屡次对外战争的失败，致使国门洞开，一次次丧权辱国的割地赔款，使国人清醒地认识到西方世界科学技术之强大，而科学技术的强大又是建立在基础科学的强大之上，而基础科学的语言与工具之一就是数学，虽然，中华民族有着渊远博大、自成一派的数学体系，甚至从公元一世纪至十一世纪初长达一千多年的时间里傲立于世界数学之巅，但随着十四世纪中叶明王朝建立之后，统治者奉行八股文的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容，自此中国古代数学开始全面衰弱，而几乎与此同时，西方世界正值文艺复兴时期，崇尚科学之风盛行，近代高等数学也在这种氛围中开始萌芽、发展、壮大，并为科学技术的发展提供了强有力的工具，而我国直至十九世纪末才开始近代高等数学的学习与研究，虽然经过几代数学工作者的奋力追赶，但时至今日仍能深切感受到与西方发达国家之间不小的差距，世界著名华人数学家、沃尔夫奖获得者陈省身曾说，我所做的一切只为实现一个理想——使中国成为21世纪数学大国，正是这种共同理想的激励之下，一批又一批志士仁人前赴后继投身其中。益思互动1.整数和分数统称为有理数。2.有理数还可以这样定义：形如pm（其中pm,均为整数，县0m）的数是有理数，这种表达形式被用来证明或判断某个数是不是有理数。3．有理数的数系表：24．有理数可以用数轴上的点表示。5．零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。6．如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数，如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。7．有理数的运算法则：（1）加法：两数相加，同号的取原来的符号、并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘，积为0。乘方：求n个相同因数口的积的运算称为乘方，记为na。（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。益思练场1．下列说法中，正确的是（）A．负数和负分数统称为有理数B．正分数、负分数统称为分数C．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D．0不是有理数2．把下列各数填相应的大括号里：451,,8.9,7,,3.2,1008,0.06,28,9.56正整数的有：{}；负整数的有：{}；正分数的有：{}；负分数的有：{}。3．数轴上原点及其左边的点表示是（）A．负整数B．正整数C．负数D．负数和04．如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A.7B.3C.3D.25．数轴上到原点的距离为2的点所表的数是。6．请你指出下图中哪些不是数轴？并说出你判断的理由。3益思精析类型一：有理数的概念【例1.1】有如下四个命题：①有理数的相反数是正数；②负数与正数的和为零；③两个负有理数的比值是正数；④两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和。其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例1.2】一组数按规律依次为：.,7-,5,2-321aaa（1）请猜想：依此规律5a=；（2）如果我们定义一种新运算；161314325424aaaaaaaaaaaa那么。【变式1】定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为53m；②当n为偶数时，结果为2kn（其中k是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n=26，则若499n，则第449次“F运算”的结果是。类型二：比较大小【例2】比较a与a2的大小【变式2.1】已知有理数ba,满足10,01ba，那么3322,,babaab中最大数是，最小数是。4【变式2.2】下列说法正确的是（）A．“黑”和“白”是具有相反意义的量B．“快”和“慢”是具有相反意义的量C．“向北走4.5m”和“向南走8m”是具有相反意义的量D．“+15m”就表示向东走15m【例3.1】有如下4个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数，其中正确的有（）个。A．1B．2C．3D．4【变式3.1】数a在数轴位置如下图所示，那么11,,,aaaa大小顺序为。（用不等号连接）【变式3.2】有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则.__________200820082008ba类型二：科学计数法【例4.1】据统计全球每分钟大约会有340000名婴儿诞生，婴儿出生数用科学计数法可表示为名。【例4.2】尽管受到国际金融危机的影响，但长沙市经济依然保持了平衡增长，据统计，截止到今年4月底，我市金融机构存款余额约为1193亿元，用科学记数法应记为（）A．1010193.1元B．1110193.1元C．2110193.1元D．3110193.1元【变式4】横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ShellzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学计数法表示为（保留两个有效数字）（）A．21047B．3107.4C．3108.4D．3100.5【例4.3】已知一个四位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为35.7610，则满足该条件的四位数有（）个。A．8B．9C．10D．11【变式4.1】已知一个五位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为42.7310，则满足该条件的五位数有个。类型三：找规律5【例5】观察下面一组数据，探求其规律：123456,,,,,,.234567（1）写出第7、8、9项的三个数；（2）第2010个数是什么？（3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？【变式5】已知1)1(nna时，01a；当2n时，22a；当3n时，03a；….则654321aaaaaa的值为。益思拓展A．夯实基础1．如果两个数的和为正数，那么（）A．这两个数都是正数B．一个数为正，一个数为0C．两个数一正一负，且正数绝对值大D．必属上面三种之一2．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数B．大于1的正数的倒数比自身小C．任何有理数都有倒数D．1的倒数是13．某市水质检测部门2008年全年共监测水量达6.28909万吨，将数字6.28909用科学记数法（保留两位有效数字）表示为（）A.41082×.B．41092×.C．51092×.D．310×2.9　4．今年某市约有102000名应届初中毕业生参加中考，102000用科学记数法（）A．×.6101020B．×.510021C．410×10.2D．310×102B．能力拓展5．一个数的平方是4，这个数的立方是（）A．8B．8C．8或8D．4或46．有如下三个结论甲：cba、、中至少有两个互为相反数，则0cba；6乙：cba、、中至少有两个互为相反数，则0)()()(222accbba；丙：cba、、中至少有两个互为相反数，则0))()((cacbba。其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．37．如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数（）A．一定是正数B．一定是负数C．是正数或是负数D．可以是任意的有理数8．已知甲数是9的相反数，乙数比甲数的相反数大6，则乙数比甲数大。C．综合创新9．在等式3□2□15的两个方格内分别填一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是。10.已知nm、互为相反数,a,b互为倒数，x的绝对值等于3，求2003200123)()()1(abxnmxabnmx的值。11．在五环图案内，分别填写五个数,a,b,c,d,e,如图,其中a,b,c是三个连续偶数（ab）,ed,是两个连续奇数(ed)，且满足edcba,例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：adbec25476712．已知yx、互为相反数，ba、互为倒数，且220102,()()mxymab则。13．三个互不相等的有理数，既可以表示为1,,aba的形式，也可以表示为0,,bba的形式，试求20122013ab的值。8第二讲数形结合话数轴益思对话笛卡尔（ReneDescartes,1596-1650），法国数学家，笛卡尔在数学上的最大贡献是提出了解析几何学的主要思想和方法，并指明了其发展方面，他在《几何学》中，将逻辑、几何、代数方法结合来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的轮廓，从此，数和形就走到了一起。数形结合切换体验想体验一下数形相结合吗？问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想试一试吗？如图，四个图dcba、、、都称作平面图，观察图b和表中对应数值，探究其中的规律并作答。（1）数一数每个图各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入表中（其中b已填好）。（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系。数学符号的严历在和科学的发展过程中，人类创造了用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的教学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史就是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步继续走下去，数学的每个进步都伴随着新的数学符号的产生。“+”是15世纪德数数学家魏德美创造的，它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加。“－”也是德国数学家魏德美创造的，它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少。“×”是18世纪美国教学家欧德莱最先使用的，它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加号斜过来写。“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的，它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个圆点分开。“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的，列科尔德认为世界上再也没有比这两条平行且相等的直线更相同的东西了，所以用来表示两数相等。17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号。17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相邻似，用“≌”表示全等。益思互动为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的在关模型，如直尺，杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴(numberaxis)模型，数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象。9数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来。数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想。利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1．运用数轴直观地表示有理数(rationalnumber)；2．运用数轴形旬地解释数相反数(oppositenumber)；3．运用数轴准确地比较有理数的大小；4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题。益思练场1．12的值是（）A．12B．12C．2D．22．若aa，则下列不等式中，成立的是（）A．0aB．0aC．0aD．0a3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的是（）A．0aB．0bC．baD．ba4．如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点是（）A．点DB．点AC．点A和点DD．点B和点C5．若0x，则x等于（）A．0B．xC．xD．以上答案都不对6．绝对值小于5.3的整数有（）A．8个B．7个C．6个D．5个7．若0)2(32n||m,则nm2的值为（）A．4B．1C．0D．48．如果a与1互为相反数，那么||a2等于（）A．