2015年全国各地高考模拟数学试题汇编空间点线面之间的位置关系(理卷A)

FEQPD1C1B1A1DCBA第8题图专题5立体几何第2讲空间点、线、面之间的位置关系（A卷）一、选择题（每小题5分，共55分）1．（2015·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·6）已知、、为互不重合的三个平面，命题:p若，，则//；命题:q若上存在不共线的三点到的距离相等，则//．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“p且q”为假2、（2015·海南省高考模拟测试题·8）如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，P为11DA的中点，Q为11BA上任意一点，FE、为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.三棱锥QEFP的体积C.直线PQ与平面PEF所成的角D.二面角QEFP的大小3．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·7）已知a,b,c均为直线，,为平面．下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面，则平面内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a,b,c，必存在与a,b,c都相交的直线；（3）//，ba,，必存在与a,b都垂直的直线；（4）bac,,,，若a不垂直c，则a不垂直b．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44.(2015·大连市高三第二次模拟考试·9)用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）（A）6个（B）7个（C）10个（D）无数个5．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·5)已知,mn为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，且l，l，则（）A．//，且//lB．，且lC．与相交，且交线垂直于lD．与相交，且交线平行于l6．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·10)直三棱柱111CBAABC，所有棱长都相等，M是11CA的中点，N是1BB的中点，则AM与1NC所成角的余弦值为（）A．32B．35C．53D．547．（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·4）设nm,是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若nmnm,,//，则；B．若nmnm//,,//，则；C．若nmnm,,//，则//；D．若nmnm//,,//，则//；8．(2015·北京市西城区高三二模试卷·8)在长方体，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则MP＋PQ的最小值为（）9.(2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·8)若空间中有(5)nn个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5（D）最大值为810.(2015.芜湖市高三5月模拟·6)11.(2015·济宁市高考模拟考试·3)二、非选择题（45分）12.（2015·江苏省扬州中学第二学期开学检测·18）如图，在三棱柱111ABCABC中，D为棱BC的中点，1,ABBCBCBB，111,2ABABBB.求证：(1)1AB平面ABC；(2)1AB∥平面1ACD.DBAC1A1B1C13．(2015·盐城市高三年级第三次模拟考试·16)（本小题满分14分）在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，1BBBC，点,,PQR分别是棱111,,BCCCBC的中点．（1）求证:1AR//平面APQ；（2）求证:平面APQ平面1ABC．14．(2015.南通市高三第三次调研测试·15)（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．EDBAC1A1B1CRQPA1C1B1BCA第16题15．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·16）（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．ABCDA1B1C1（第15题）E（第16题图）PABCDE专题5立体几何第2讲空间点、线、面之间的位置关系（A卷）答案与解析1.【答案】C【命题立意】本题重点考查面面平行判定和逻辑连词的真值表，难度中等.【解析】若,，则与可能垂直或平行，故p为假命题，若上存在不共线的三点到的距离相等，则与可能相交或平行，故q为假命题，所以命题“p或q”为假.2.【答案】C【命题立意】本题旨在考查直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离等．【解析】选项A中，由于平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，所以点P到平面QEF的距离是定值；选项B中，由于△QEF的面积是定值（因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据选项A中的结论知P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定，即三棱锥P—QEF的体积是定值；选项C中，由于Q是动点，E、F也是动点，推不出定值的结论，所以不是定值，即直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；选项D中，由于A1B1//CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，所以二面角P—EF—Q的大小为定值．3.【答案】B【命题立意】本题旨在考查空间中线面的位置关系．【解析】（1），（3）正确；对于（2）:当a//b，且a,b，c//时,可得（2）错误；对于（4）:若bcbba故（4）错误．故正确命题的个数为2个．故选：B．4.【答案】D【命题立意】本题重点考查了平面的性质、空间几何体的结构特征等知识。【解析】如图所示：用平面截该正四面体，得到形状，大小都相同的两个几何体由无数个，故选D。5.【答案】D【命题立意】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，靠考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题.【解析】由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．6.【答案】C【命题立意】考查三棱柱的性质，考查空间想象能力，中等题．【解析】把三棱柱补形为直四棱柱（各条棱长相等），如图，设棱长为4，取11EB，连接EN，所以AMEN//，所以1ENC为AM与1NC所成角，在ENBRt1中，52122EN，在ECB11中，411CB，11EB，6011CEB，由余弦定理的131EC，在NCBRt11中，411CB，21NB，2024221NC，在1ENC，由余弦定理得53520213520cos1ENC．7.【答案】B【命题立意】本题考查立体几何中的面面平行和面面垂直的判定。【解析】可采取直观演示或定理推证的方式不难找出选项。B选项，由条件,//nmn推出m，又//,m易知．8.【答案】C【命题立意】本题旨在考查空间线面位置关系。【解析】对角线1AC动点P到底面ABCD上的Q点的最小值为点P在底面ABCD上的投影，即直线AC上，所以选择确定点Q，点1B沿着线1AC旋转，使得11BACC在一个平面上，过1AB的中点M做AC的垂线，垂足为Q，MQ和1AC的交点为P，线段MQ的长度为我们求的最小值.由题意长方体1111DCBAABCD，2AB，11AABC可得6111CACACB，则31MAC，另外31AB，则23AM，所以433sin23MQ..故选C9.【答案】C【命题立意】本题考查了空间中直线与平面的垂直关系及推理能力.【解析】显然=5n成立.若6n，空间中三个点确定一个平面，又任意四个点都不共面，则其余点都在该平面外.而过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面，则其余各点共线，由公理3推论可知，存在四点共面，这与已知矛盾，故6n不成立.10.【答案】D【命题立意】本题旨在考查线面之间的位置关系及二面角．【解析】因为AD∥BC,所以BC与CB1所成角即为AD与CB1所成角，而该几何体是正方体，各面是正方形，所以所成角为45°，D错.11.【答案】B【命题立意】本题主要考查空间线面的位置关系【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．12.【答案】（1）略；（2）略.【命题立意】本题考查的是直线与平面平行以及直线与平面垂直的证明.【解析】证明：（1）因为1111,,,ABBCBCBBABBBBABBBABB、平面，所以111BCABBABABB平面,又平面，所以1ABBC；………3分又因为1111,2ABABBBAA，得22211AAABAB，所以1ABAB.………6分又ABBCABCABBCB、平面，，所以1AB平面ABC；………8分（2）连接1AC交1AC与点E，连接DE，在1ABC中，DE、分别为1BCAC、的中点，所以1//DEAB，又111,ABACDDEACD平面平面，所以1AB∥平面1ACD．………14分13.【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质，空间线面的位置关系的判定与性质及其应用．【解析】（1）在直三棱柱111ABCABC中，11//BCBC且11BCBC，因点,PR分别是棱11,BCBC的中点，所以1//BPBR且1BPBR，所以四边形1BPRB是平行四边形，即1//PRBB且1PRBB，又11//AABB且11AABB，所以1//PRAA且1PRAA，即四边形1APRA是平行四边形，所以1//APAR，又1AR平面APQ，所以1//AR平面APQ．………………7分（2）因1BBBC，所以四边形11BCCB是菱形，所以11BCBC，又点,PQ分别是棱11,BCCC的中点，即1//PQBC，所以1BCPQ．因为ABAC，点P是棱BC的中点，所以APBC，由直三棱柱111ABCABC，知1BB底面ABC，即1BBAP，所以AP平面11BCCB，则1APBC，所以1BC平面APQ，又1BC平面1ABC，所以平面APQ平面1ABC…………………………………………14分14.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【命题立意】本题考查三棱柱的性质，考查空间中的线、面位置关系，意在考查分析能力，空间想象能力，中等题.【解析】（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF∥面ABC1．同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．因DE平面DEF，故DE∥面ABC1．15.【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质，空间线面的位置关系的判定与性质及其应用．【解析】（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝12AD．ABCDA1B1C1（第