2016高考数学(浙江版)二轮专题复习配套课件53空间中的角及动态问题

第3讲空间中的角及动态问题专题五第3讲空间中的角及动态问题-2-热点考题诠释能力目标解读12341.(2015浙江,文7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案解析解析关闭因为AB为定线段,∠PAB=30°,所以在空间中直线AP是以AB为轴的圆锥面的母线所在的直线,又因为点P在平面α内,所以点P的轨迹可以看成平面α与圆锥面的交线.因为AB与平面α所成的角为60°,所以平面α与圆锥的轴斜交.由平面与圆锥面的截面性质,可得点P的轨迹为椭圆.答案解析关闭C专题五第3讲空间中的角及动态问题3-3-热点考题诠释能力目标解读12342.(2015浙江,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.专题五第3讲空间中的角及动态问题-4-热点考题诠释能力目标解读1234解:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.专题五第3讲空间中的角及动态问题-5-热点考题诠释能力目标解读1234(2)作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE,所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F,A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=.由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=.由DE=BB1=4,DA1=EA=,∠DA1E=90°,得A1F=.所以sin∠A1BF=.专题五第3讲空间中的角及动态问题-6-热点考题诠释能力目标解读12343.(2015天津,文17)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.专题五第3讲空间中的角及动态问题-7-热点考题诠释能力目标解读1234(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.专题五第3讲空间中的角及动态问题-8-热点考题诠释能力目标解读1234(3)解:取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=B1B.故NE∥A1A,且NE=A1A.所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB,又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1==4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=,因此∠A1B1N=30°.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.专题五第3讲空间中的角及动态问题-9-热点考题诠释能力目标解读12344.(2014浙江,文20)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.专题五第3讲空间中的角及动态问题-10-热点考题诠释能力目标解读1234(1)证明:连接BD.在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.专题五第3讲空间中的角及动态问题-11-热点考题诠释能力目标解读1234(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD,与CB延长线交于F,连接AF,则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=,得EF=,BF=.在Rt△ACF中,由AC=,CF=,得AF=.在Rt△AEF中,由EF=,AF=,得tan∠EAF=.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.专题五第3讲空间中的角及动态问题-12-热点考题诠释能力目标解读从近几年的浙江高考试题来看,求线线角和线面角是热点问题,其中线面角的考查常设置为解答题,一般为中低档题.二面角涉及较少,主要考查用定义法求解.立体几何中的动态问题,具有较强的灵活性,常以翻折、展开、轨迹等途径进行设置,考查转化能力和动静分析能力.专题五第3讲空间中的角及动态问题-13-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四两条异面直线所成的角例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案解析解析关闭如图,取AB的中点E,连接B1E,则AM∥B1E,取EB的中点F,连接FN,则B1E∥FN,因此AM∥FN,则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角.设AB=1,连接CF,在△CFN中,CN=52,FN=54,CF=174.由余弦定理得cos∠CNF=𝐶𝑁2+𝐹𝑁2-𝐶𝐹22𝐶𝑁·𝐹𝑁=25.答案解析关闭25专题五第3讲空间中的角及动态问题14-14-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法用平移法求两条异面直线所成的角时,需注意:(1)平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.最终将空间角转化为平面角,利用解三角形的知识求解.(2)因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.专题五第3讲空间中的角及动态问题15-15-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练1(2015浙江东阳模拟,文4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1中点,则CA1与BD所成角的大小是()A.B.C.D.答案解析解析关闭如图,取A1C1中点E,连接BE,则DE∥CA1,所以∠BDE为CA1与BD所成角,设其为θ,并设棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,在△BDE中,BD=5,BE=7,DE=2,则有cosθ=𝐵𝐷2+𝐷𝐸2-𝐵𝐸22𝐵𝐷·𝐷𝐸=0,所以θ=π2.故选C.答案解析关闭C专题五第3讲空间中的角及动态问题16-16-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四直线与平面所成的角例2(2015浙江衢州4月教学质量检测,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AD=2,AB=1,AC=.(1)证明:MN∥平面PCD;(2)求直线MN与平面PAD所成角的正切值.专题五第3讲空间中的角及动态问题-17-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(1)证明:取PD中点E,连接NE,CE.∵N为PA中点,∴NE􀱀AD.又M为BC中点,底面ABCD为平行四边形,∴MC􀱀AD.∴NE􀱀MC,即MNEC为平行四边形.∴MN∥CE.∵EC⊂平面PCD,且MN⊄平面PCD,∴MN∥平面PCD.􀱀􀱀􀱀专题五第3讲空间中的角及动态问题-18-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)解:∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD,过M作MF⊥AD,则MF⊥平面PAD,连接NF.则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角,由AB=1,AC=,AD=2,得AC⊥CD,由AC·CD=AD·MF,得MF=,专题五第3讲空间中的角及动态问题-19-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四在Rt△AMN中,AM=AN=1,得MN=.在Rt△MNF中,NF=,∴tan∠MNF=.故直线MN与平面PAD所成角的正切值为.专题五第3讲空间中的角及动态问题-20-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法用综合法求直线与平面所成角的方法:(1)定义法利用定义法求线面角,常常利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角中的垂足.确定好垂足,明确斜线在平面内的射线,即可确定线面角,然后通过解直角三角形求解.(2)间接法如果线面角不好确定,可考虑间接法,不用找角.其基本理论为:在构成线面角的直角三角形中,如果垂足位置不好确定,可以利用求点面距的常用方法——等体积法求解垂线段的长度,然后利用sinθ=进行求角.专题五第3讲空间中的角及动态问题-21-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练2正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.答案解析解析关闭答案解析关闭专题五第3讲空间中的角及动态问题-22-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四二面角例3(2015浙江嘉兴教学测试(二),文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,2AC=PC=2,AC⊥BC,D,E,F分别为AC,AB,AP的中点,M,N分别为线段PC,PB上的动点,且有MN∥BC.(1)求证:MN⊥面PAC;(2)探究:是否存在这样的动点M,使得二面角E-MN-F为直二面角?若存在,求CM的长度;若不存在,说明理由.专题五第3讲空间中的角及动态问题-23-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(1)证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,∴BC⊥面PAC.又∵MN∥BC,∴MN⊥面PAC.(2)解:由条件可得,∠FMD即为二面角E-MN-F的平面角;若二面角E-MN-F为直二面角,则∠FMD=90°.在直角三角形PCA中,设CM=t(0≤t≤2),则PM=2-t,在△MDC中,由余弦定理可得,DM2=CM2+CD2-2CM·CDcos60°=t2+t;同理可得,FM2=PM2+PF2-2PM·PFcos30°=(2-t)2+(2-t);又由FD2=FM2+MD2,得2t2-3t+1=0,解得t=1或t=.故存在点M可使得二面角E-MN-F为直二面角,且CM的长度为1或.专题五第3讲空间中的角及动态问题-24-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法求二面角的大小,关键是作出二面角的平面角,作二面角的平面角的方法如下:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.专题五第3讲空间中的角及动态问题-25-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图③,∠ABO为二面角α-l-β的平面角.专题五第