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第3讲函数与方程、函数模型的应用专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-2-热点考题诠释能力目标解读12341.(2015陕西,文10)设f(x)=lnx,0ab,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.q=rpC.p=rqD.p=rq答案解析解析关闭答案解析关闭C专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用3-3-热点考题诠释能力目标解读12342.(2015四川,文8)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时答案解析解析关闭由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点.所以192=e𝑏,48=e22𝑘+𝑏.①②由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=48192=14,即(e11k)2=14,所以e11k=12.所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y=e33k+b=(e11k)3·eb=18×192=24(小时).答案解析关闭C专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-4-热点考题诠释能力目标解读12343.(2015天津,文8)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案答案关闭A专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-5-热点考题诠释能力目标解读1234解析:因为f(x)=所以f(2-x)=f(x)+f(2-x)=所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-6-热点考题诠释能力目标解读12344.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案解析解析关闭函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2𝑥-2,𝑥≥1,2-2𝑥,𝑥1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0a2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a的取值范围为(0,2).答案解析关闭(0,2)专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-7-热点考题诠释能力目标解读通过分析近几年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面:一、结合函数与方程的关系,求函数的零点;二、结合根的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断;三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围.对函数的实际应用问题的考查,主要体现在以下几个方面:一、二次函数模型的建立及最值;二、分段函数模型的建立及最值、指数函数、对数函数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.多以解答题为主.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-8-命题热点答题模板热点一热点二热点三函数的零点例1(2015浙江衢州五校联考,文3)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案解析解析关闭答案解析关闭B专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用9-9-命题热点答题模板热点一热点二热点三规律方法确定函数零点存在区间及个数的“两个”方法(1)利用零点存在的判定定理.(2)利用数形结合法.当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时,常用数形结合法求解.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用10-10-命题热点答题模板热点一热点二热点三迁移训练1(2015浙江东阳5月模拟,文6)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=-x2+2x,则函数F(x)=f(x)-x零点个数为()A.4B.3C.1D.0答案解析解析关闭当x≥0时,F(x)=f(x)-x,即F(x)=-x2+x有两个零点为0,1.因F(-x)=f(-x)+x=-F(x),故F(x)=f(x)-x是R上的奇函数,所以当x0时,F(x)=x2+x有一个零点为-1.故选B.答案解析关闭B专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用11-11-命题热点答题模板热点一热点二热点三函数零点的应用例2已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案解析解析关闭函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).答案解析关闭(0,1)专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-12-命题热点答题模板热点一热点二热点三规律方法利用函数零点个数求参数取值范围的方法解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.常见的方法如下:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-13-命题热点答题模板热点一热点二热点三迁移训练2(2015浙江嘉兴学业测试(一),文7)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)+a]有四个零点,则实数a的取值范围为()A.[-2,2)B.[1,5)C.[1,2)D.[-2,5)答案解析解析关闭令f[f(x)+a]=0,则得f(x)+a=-1或f(x)+a=2.于是有f(x)=-1-a或f(x)=2-a.画出函数f(x)=𝑥+1,𝑥≤0,2𝑥-4,𝑥0的图象如图.由图象可知,若函数y=f[f(x)+a]有四个零点,则方程f(x)=-1-a与f(x)=2-a应满足都有两个根,所以-3-1-𝑎≤1,-32-𝑎≤1,即1≤a2.答案解析关闭C专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-14-命题热点答题模板热点一热点二热点三函数模型例3(2015上海,文21)如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米.现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f(t)(单位:千米).甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时.乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时,乙到达P地;t=t2时,乙到达Q地.(1)求t1与f(t1)的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1≤t≤t2时,求f(t)的表达式,并判断f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过3?说明理由.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-15-命题热点答题模板热点一热点二热点三解:(1)t1=.记乙到P时甲所在地为R,则OR=千米.在△OPR中,PR2=OP2+OR2-2OP·ORcos∠O,所以f(t1)=PR=(千米).(2)t2=.如图建立平面直角坐标系.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-16-命题热点答题模板热点一热点二热点三设经过t小时,甲、乙所在位置分别为M,N.当t∈时,M(3t,4t),N(3,8t-3),f(t)=.f(t)在上的最大值是f,不超过3.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-17-命题热点答题模板热点一热点二热点三规律总结1.关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-18-命题热点答题模板热点一热点二热点三迁移训练3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-19-命题热点答题模板热点一热点二热点三解:(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60,当20x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20x≤200时,f(x)=x(200-x)≤,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-20-命题热点答题模板热点一热点二热点三综上可知,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-21-命题热点答题模板例题(本小题满分15分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=+2a+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈,若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a).(1)令t=,x∈[0,24],求t的取值范围;(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-22-命题热点答题模板解:(1)当x=0时,t=0;（1分）当0x≤24时,x+≥2(当x=1时取等号),∴t=,即t的取值范围是.（5分）(2)当a∈时,记g(t)=|t-a|+2a+,则g(t)=（9分）专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-23-命题热点答题模板∵g(t)在[0,a]上单调递减,在上单调递增,且g(0)=3a+,g=a+,g(0)-g=2.故M(a)=即M(a)=（12分）由a≤,∴当且仅当a≤时,M(a)≤2.故当0≤a≤时不超标,当a≤时超标.（15分）专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-24-1234561.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案解析解析关闭由于函数的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.答案解析关闭C专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-25-1234562.(2015浙江第一次五校联考,文10)已知函数f(x)=g(x)=则函数f(g(x))的所有零点之和是()A.-B.C.-1+D.1+答案解析解析关闭答案解析关闭B专题二第3讲函数与方程、函数模型的应用-26-1234563.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案解析解析