2016高考数学大一轮复习142矩阵与变换教师用书理苏教版

1§14.2矩阵与变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵a11a12a21a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a12a21a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12a21a22b11b12b21b22＝a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如1001；(2)伸压变换：如10012；(3)反射变换：如100－1；(4)旋转变换：如cosθ－sinθsinθcosθ，其中θ为旋转角度；2(5)投影变换：如1000，1010；(6)切变变换：如1k01(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式．1．在切变变换M＝10－21作用下，直线y＝2x－1变为________．答案y＝－12．将椭圆x23＋y24＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．答案7x2＋7y2＋2xy－24＝03．在1010对应的线性变换作用下，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1变为________________．答案y＝x(－2≤x≤0)4．计算：1324－1104＝________.答案－113－218题型一求变换矩阵例1已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.3解设T＝acbd，则T：30→x′y′＝acbd30＝3a3b＝03，解得a＝0，b＝1；T：21→x′y′＝acbd21＝2a＋c2b＋d＝1－1，解得c＝1，d＝－3，综上可知，T＝011－3.思维升华知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解(1)设M＝abcd，则有abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，所以a－b＝－1c－d＝－1，且－2a＋b＝0－2c＋d＝－2，解得a＝1b＝2c＝3d＝4，所以M＝1234.(2)因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.题型二求逆矩阵例2求矩阵A＝2312的逆矩阵．解设逆矩阵为A－1＝abcd，则由2312abcd＝1001，4得2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1.解得a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2.所以A－1＝2－3－12.思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵abcd，AB＝BA＝E2；(2)公式法|A|＝abcd＝ad－bc≠0，有A－1＝d|A|－b|A|－c|A|a|A|.(2013·江苏)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为abcd，则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵为A－1＝－10012，所以A－1B＝－100121206＝－1－203.题型三特征值与特征向量例3(2014·福建)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝2112.①求矩阵A；②求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解①因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，5所以A＝132－1－12＝23－13－1323.②矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝λ－2－1－1λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝1－1是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝11是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A＝abcd，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝11和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝10，试求矩阵A.解设矩阵A＝abcd，这里a，b，c，d∈R，因为11是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量，则有1－a－b－c1－d11＝00，①又因为10是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则有2－a－b－c2－d10＝00，②根据①②，则有1－a－b＝0，－c＋1－d＝0，2－a＝0，－c＝0，从而a＝2，b＝－1，c＝0，d＝1，因此A＝2－101.6用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．思维点拨(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．规范解答解(1)设M＝abcd，则abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，[2分]所以a－b＝－1c－d＝－1，且－2a＋b＝0－2c＋d＝－2，解得a＝1b＝2c＝3d＝4，所以M＝1234.[5分](2)因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.[10分]温馨提醒(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．方法与技巧71．二阶矩阵与平面列向量乘法：acbdxy＝ax＋cybx＋dy，这是所有变换的基础．2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB＝E2＝BA.3．二元一次方程组a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2相应的矩阵方程为AX＝B，其中A＝a1b1a2b2为系数矩阵，X为未知数向量xy，B＝c1c2为常数向量．4．若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值．失误与防范1．矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB写成BA.2．矩阵乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．3．矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵A、B、C，当A≠0，且AB＝AC时，不一定有B＝C.A组专项基础训练(时间：50分钟)1．(2013·江苏)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为abcd，则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵为A－1＝－10012，所以A－1B＝－100121206＝－1－203.82．(2014·江苏)已知矩阵A＝－121x，B＝112－1，向量α＝2y，x，y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．解由已知，得Aα＝－121x2y＝－2＋2y2＋xy，Bα＝112－12y＝2＋y4－y.因为Aα＝Bα，所以－2＋2y2＋xy＝2＋y4－y.故－2＋2y＝2＋y，2＋xy＝4－y.解得x＝－12，y＝4.所以x＋y＝72.3．在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M＝100－1，N＝122022.解MN＝1220－22，1220－2200＝00，1220－2220＝20，1220－2212＝2－1.可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)．可知△O′A′B′的面积为1.4．已知矩阵A＝1011，B＝0232.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．解(1)设M＝abcd，AM＝1011abcd＝aba＋cb＋d＝0232，9得a＝0，a＋c＝3，b＝2，b＋d＝2，∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝0230.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变