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1专项训练卫星变轨问题分析人造卫星的变轨问题的分析方法人造卫星沿圆形轨道环绕地球运动，因为大气阻力的作用，其运动的高度逐渐变化，由于高度变化很慢，在变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动规律．卫星在原轨道上受空气阻力的作用，速度有减小的趋势，当万有引力大于其圆周运动所需向心力时，卫星将做向心运动．在做向心运动的过程中，万有引力对卫星做正功，使其速度增大，到低轨道后达到新的稳定运行状态．所以卫星由于大气阻力作用降到低轨道运行．但其环绕速度反而会增大，其周期也变短．一、同一点的加速度的分析【例1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1上，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是()A．卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率B．卫星在轨道1上的周期大于在轨道3上的周期C．卫星在轨道2上的周期小于在轨道3上的周期D．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度【解析】设卫星和地球的质量分别为m和M，卫星速率为v，轨道半径为r，则有GMmr2＝mv2r，得到v＝GMr，对于1和3为圆周运动可知，半径小，环绕速率大，故A项正确；由开普勒定律知，对绕同一中心天体的所有卫星，轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即R3T2＝k，判断出T3T2T1，故B项错误，C项正确；由F＝GMmr2＝ma，得a＝GMr2，a的大小与r2成反比．在Q点时，卫星无论沿1还是2轨道运行，到地心的距离r都是相等的，因此在Q点的向心加速度应相等，故D项错误．【答案】AC2【学法指导】求解加速度要利用牛顿运动定律这一基本点，F合＝ma，此处即GMmr2＝ma，其中的r指的两天体间的距离．二、同一点的速度的分析1．从做功、能量转换的角度分析卫星想从低轨道到高轨道，需要外界对卫星做功，如卫星向后喷气，获得向前的增加速度，由于速度较大，将做离心运动，从而在较高轨道上稳定，如图中的卫星从Ⅱ轨道到Ⅰ轨道．反过来，如果从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，卫星需要减速．有的同学可能不解：同样经过A点，为什么速度大小不一样呢？如果一样，要么沿椭圆运动，要么沿圆轨道运动，既然沿不同轨道，说明在同一点A的速度肯定是不一样的．2．从圆周运动的定义的角度分析从运动的机理分析，做圆周运动的向心力是由万有引力提供的．在轨道Ⅰ上的A点，令地心到A点的距离为R，由万有引力提供向心力，即GMmR2＝mv2R，v＝GMR＝GMR2R，在椭圆轨道Ⅱ上的A点，虽然不是圆周运动，但是该点的速度方向与万有引力的方向垂直，故此时的合力(万有引力)只提供物体做圆周运动的向心力，GMmR2＝mv2r，v＝GMR2r，其中r为A处圆弧的曲率半径，其中R＞r，由此可以判断出在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能．当然，以上两种方法，简单的判断为方法1.【例2】(2010·江苏)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有()A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度3【解析】由于A点为远地点，B点为近地点，由机械能守恒定律可知，轨道Ⅱ上A点速度小于B点速度，A项正确；航天飞机在轨道Ⅱ上的A点要变轨到轨道Ⅰ，必须加速，即在轨道Ⅱ上经过A点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A点的动能，B项正确；由于轨道Ⅱ的半径(椭圆轨道的半长轴)小于轨道Ⅰ的半径(圆轨道)，由开普勒定律T2R3＝k可知，在轨道Ⅱ上的周期小于轨道Ⅰ上的周期，C项正确；由于在轨道Ⅱ上经过A点和在轨道Ⅰ上经过A点受到的万有引力相等，所以加速度应相同．D项错误．【答案】ABC【名师点拨】分析A、B两点速度的大小也可以通过微分观点(极短时间)、开普勒第二定律、瞬时速度的定义(极短时间内的速度为该点的瞬时速度)、通过面积推得．本题很好地巩固了开普勒第三定律中R的含义．变轨中的能量变化．