2017函数的周期性与对称性

函数的周期性概念(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a。经典例题：1、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝1f（x），则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．23．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)f(x)＝1，若f(1)＝－5，则f(－5)＝________．4、已知函数f(x)对任意实数x,都有，求证:2m是f(x)的一个周期.5、设偶函数)(xf对任意Rx，都有)(1)3(xfxf，且当2,3x时，xxf2)(,则)5.113(f的值为(D)A.72B.72C.51D.511()()1()fxfxmfx6．(2014·高考重庆卷)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x7.(2015·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________．8.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝1f（x），若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数9.(2015·高考安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________．10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．几个重要结论()()fxafxa型与()()fxafax型重要结论结论1：()()yfxxR，0a，若()()fxafxa，则()fx是周期函数。周期的求法：反复用xa去替换式中的x，直至出现()()fxTfx为止。①、证明()()yfxxR，(0)a，若()()fxafxa，则()fx是以2Ta的周期函数。②、证明()()yfxxR，(0)a，若()()fxafxa，则()fx是以4Ta的周期函数。结论2：()()yfxxR，0ab，若()()fxafxb，则()fx是周期函数，且Tab。结论3：()()yfxxR，()()fxafax()fx关于直线xa对称。（由图像易得，证明略）对称轴的求法：()()2xaaxxa①、()()fxafax()fx关于直线xa对称；②、()()fxafax()fx关于点(,0)a对称；结论4：()()yfxxR，0a，()()()fxafaxfxa为偶函数。经典例题1、已知定义在R上的奇函数，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则（A）.（B）.（C）.（D）.2、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）。)(xf(25)(11)(80)fff(80)(11)(25)fff(11)(80)(25)fff(25)(80)(11)fff()fx(,)0x(2()fxfx）[0,2)x2()log(1fxx）(2008)(2009)ffA．B．C．D．综合练习⒈若)x2(fy的图象关于直线2ax和)ab(2bx对称，则)x(f的一个周期为A.2baB.)ab(2C.2abD.)ab(4⒉设函数)x(fy是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知]2,2[x时，函数1x)x(f2，则]2,6[x时，)x(f.⒊（2013天津，7）在R上定义的函数)x(f是偶函数，且)x2(f)x(f，若)x(f在区间]2,1[上是减函数，则)x(fA.在区间]1,2[上是增函数，在区间]4,3[上是增函数B.在区间]1,2[上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[上是减函数，在区间]4,3[上是减函数⒋（2013天津，16）设)x(f是定义在R上的奇函数，且)x(fy的图象关于直线21x对称，则)5(f)4(f)3(f)2(f)1(f.⒌（2009山东，6）已知定义在R上的奇函数)x(f满足)x(f)2x(f，则)6(f的值为A.1B.0C.1D.2⒍已知偶函数)x(fy满足)1x(f)1x(f，且当]0,1[x时，943)x(fx，则)5log(f31的值等于A.1B.5029C.45101D.1⒎（广东佛山）设)x(f为R上的奇函数，且0)3x(f)x(f，若1)1(f，2log)2(fa，则a的取值范围是.2112⒏函数)x(f对于任意实数x满足条件)x(f1)2x(f，若5)1(f，则))5(f(f等于A.5B.5C.51D.51⒐（山东临沂）已知定义在R上的函数)x(fy满足下列三个条件：①对于任意的Rx，都有)x(f)4x(f；②对于任意的2xx021，都有)x(f)x(f21；③函数)2x(fy的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是A.)5.15(f)5(f)5.6(fB.)5.15(f)5.6(f)5(fC.)5.6(f)5.15(f)5(fD.)5.6(f)5(f)5.15(f⒑（江苏盐城）定义在),(上的偶函数)x(f满足)x(f)1x(f，且在]0,1[上是增函数，下面是关于)x(f的判断：①)x(f是周期函数；②)x(f的图象关于直线1x对称；③)x(f在]1,0[上是增函数；④).0(f)2(f其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。⒒（广东，19，12分）设函数)x(f在),(上满足)x2(f)x2(f，)x7(f)x7(f，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f)1(f⑴试判断函数)x(fy的奇偶性；⑵试求方程0)x(f在闭区间]2005,2005[上的根的个数，并证明你的结论。12.函数)Rx()x(fy满足)x(f是偶函数，又2003)0(f，)1x(f)x(g为奇函数，则)2004(f