2017届新人教B版定点定值存在性问题配餐作业

第1页共5页配餐作业(五十三)定点、定值、存在性问题1．(2016·山西联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且在直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得MP→·MQ→＝0。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解析：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1。(2)由y＝kx＋m，3x2＋4y2＝12，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2。设P(xP，yP)，则xP＝－4km3＋4k2＝－4km，yP＝kxP＋m＝－4k2m＋m＝3m，即P－4km，3m。∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴MP→＝－4km－t，3m，MQ→＝(4－t,4k＋m)，第2页共5页∴MP→·MQ→＝－4km－t·(4－t)＋3m·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋4km(t－1)＝0恒成立，故t＝1，t2－4t＋3＝0，即t＝1。∴存在点M(1,0)符合题意。2．(2016·合肥质检)已知△ABC的三个顶点(均异于坐标原点O)都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，且抛物线的焦点F满足FA→＋FB→＋FC→＝0，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx＋ny－m＝0(m，n为常数且m≠0)。(1)求p的值；(2)记△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，求证：S21＋S22＋S33为定值。解析：(1)∵抛物线的焦点F满足FA→＋FB→＋FC→＝0，∴AF→＝FB→＋FC→，取BC边上的中点M，连接FM，则AF→＝2FM→，故点F在直线l上，在mx＋ny－m＝0中，令y＝0，得x＝1，得抛物线的焦点F(1,0)，于是p2＝1，p＝2。(2)证明：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由FA→＋FB→＋FC→＝0知：x1＋x2＋x3＝3，且y2i＝4xi(i＝1,2,3)，于是S21＋S22＋S23＝14(y21＋y22＋y23)＝x1＋x2＋x3＝3，∴S21＋S22＋S23为定值3。3．已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴第3页共5页长相等。(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值。解析：(1)设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d＝61＋1＝3，所以b＝5－3＝2。由题意得ca＝33，a2＝b2＋c2，又b＝2，∴a2＝3，b2＝2。∴椭圆E的方程为y23＋x22＝1。(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆E的方程得y＝kx－x0＋y0，y23＋x22＝1。把y＝kx＋(y0－kx0)代入y23＋x22＝1，消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x20)k2＋2kx0y0－(y20－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－y20－32－x20，∵点P在圆O上，∴x20＋y20＝5，∴k1·k2＝－5－x20－32－x20＝－1。第4页共5页∴两条切线斜率之积为常数－1。4．(2016·武汉调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为22，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O为坐标原点。(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解析：(1)设F(c,0)，则ca＝22，知a＝2c。过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝c，代入椭圆方程，有－c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±22b。于是2b＝2，解得b＝1。又a2－c2＝b2，从而a＝2，c＝1。所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1。(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQN的垂心。设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以kNF＝－1。由NF⊥PQ，知kPQ＝1。设直线l的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x2＋2y2＝2，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0。由Δ＞0，得m2＜3，且x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－23。由题意，有NP→·FQ→＝0。因为NP→＝(x1，y1－1)，FQ→＝(x2－1，y2)，所以x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0，第5页共5页即x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，所以2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，于是2×2m2－23－43m(m－1)＋m2－m＝0，解得m＝－43或m＝1。经检验，当m＝1时，△PQN不存在，故舍去m＝1。当m＝－43时，所求直线l存在，且直线l的方程为y＝x－43。