2017届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题(解析版)

试卷第1页，总18页2017届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题一、填空题（题型注释）1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝．【答案】｛0，1｝【解析】试题分析：由题意{|01}Bxx，所以{0,1}AB．考点：集合的运算．2．设复数z满足（z＋i）i＝－3＋4i（i为虚数单位），则z的模为．【答案】25【解析】试题分析：343442iziiiii，则22424225zi．考点：复数的运算，复数的模．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．【答案】80【解析】试题分析：(0.010.03)1020080，考点：频率分布直方图．4．若函数f（x）＝sin（ωx＋6）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（3）的值是．【答案】12【解析】试题分析：2t，则2，51()sin(2)sin33662f．考点：三角函数的周期．5．下图是一个算法的流程图，则输出k的值是．试卷第2页，总18页【答案】5【解析】试题分析：依题意，循环时,Sk值依次为3,2Sk；8,3Sk，19,4Sk，42,5Sk，6480S，此时不再计算k，而是直接输出5k．考点：程序框图．6．设向量a＝（1，－4），b＝（－1，x），c＝a＋3b．若a∥c，则实数x的值是．【答案】4【解析】试题分析：3(2,43)cabx，由//ac得24314x，解得4x．考点：平面向量的平行的坐标运算．7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是．【答案】56【解析】试题分析：22422456CCPC．考点：古典概型．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：22214xya（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是．【答案】1【解析】试题分析：由题意22a，1a．试卷第3页，总18页考点：双曲线的几何性质．9．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋（y－a）2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是．【答案】－1【解析】试题分析：圆的半径是4，ABC是直线三角形，则圆心C到直线AB的距离为22，所以22221aaa，解得1a．考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】解决直线和圆的位置关系，可用直线方程与圆方程联立方程组，通过研究方程组的解的情况来得出位置关系：无解相离，一解相切，两解相交，但用得最多的，比较简便的方法是求出圆心到直线的距离d，由d与半径r的关系来确定：dr相离，dr相切，dr相交．10．已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为．【答案】6【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r，则高为3r，所以2212633rr，23r，所以高为36r．考点：圆柱与圆锥的体积．11．各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝．【答案】13n【解析】试题分析：设公比为q，则4112178(1)13aqaqaqq，因为0q，所以3q，11a，所以13nna．考点：等比数列的通项公式．【名师点睛】等差数列的通项公式和前n项和公式在解题是起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．在1,,,,nnadnaS中，知三即可求二，解题时要注意方程思想的应用．12．已知函数f（x）＝21220xxxxx，≤0，，，当x∈（－∞，m]时，f（x）的取值范围为[－16，＋∞），则实数m的取值范围是．【答案】[－2，8]【解析】试题分析：0x时，3()12fxxx，2'()123fxx，当2x时，'()0fx，试卷第4页，总18页当20x时，'()0fx，即()fx在(,2)上递减，在(2,0]上递增，()(2)16fxf极小值＝，当0x时，()fx递减，(0)0f，(8)16f，因此[2,8]m．考点：函数的单调性，函数的值域．13．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，AD＝13AB，若DB·DC＝3，则AC的长是．【答案】10【解析】试题分析：由已知2,1BDAD，设ADC，则2cos3DBDCx，又22224cos2xx，所以6x，6cos4，则在ADC中22261(6)216()104AC，10AC．考点：向量的数量积，余弦定理．【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题，其中向量部分是概念的应用，AD＝13AB，，说明D是线段AB的一个三等分点，数量积DB·DC＝3，只要根据定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系，然后根据条件选择解三角形时要用什么公式：在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解．14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝（12）x．若存在x0∈[12，1]，使得等式af（x0）＋g（2x0）＝0成立，则实数a的取值范围是．【答案】[22，522]【解析】试题分析：由1()()()2xfxgx得1()()()2xfxgx，即1()()()2xfxgx，所以1()(22)2xxfx，1()(22)2xxgx．存在x0∈[12，1]，使得等式af（x0）＋g（2x0）＝0成立，即01[,1]2x，00(2)()gxafx，设(2)()()gxhxfx（1[,1]2x），则()hx221(22)21(22)2xxxx222222xxxx试卷第5页，总18页2(22)22xxxx，1[,1]2x时，2322[,]22xx，设22xxt，则23[,]22t，而2()hxtt，易知2ytt在2[,2]2是递减，在3[2,]2上递增，因此22222y最小，22522222y最大，所以52()[22,]2hx，即52[22,]2a．考点：函数的奇偶性，函数的值域．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想．解题时需由奇偶性定义求出函数(),()fxgx的解析式，存在x0∈[12，1]，使得等式af（x0）＋g（2x0）＝0成立，其中等式可转化为00(2)()gxafx，这样求a的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2gxhxxfx的值域．当然在求函数()hx值域时还用到换元法和的单调性，问题进一步进行了转化．二、解答题（题型注释）15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B．若点A的横坐标．．．是31010，点B的纵坐标．．．是255．（1）求cos（α－β）的值；（2）求α＋β的值．【答案】（1）210；（2）34【解析】试题分析：（1）要求cos()的值，由两角差的余弦公式知要求得,的正弦与余弦值，这首先由三角函数的定义可得cos,sin，再由同角关系及,的位置可得试卷第6页，总18页sin,cos，从而可得cos()；（2）要求角，一般要求的三角函数值，可以先关注的范围，由(0,),(,)22知3(,)22，这个范围内正弦是一对一的，因此可求sin()，再得角．试题解析：因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝31010，从而sinα＝2101cos10．因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是255，所以sinβ＝255，从而cosβ＝21sin＝－55．（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝31010×（－55）＋1010×255＝－210．（2）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝1010×（－55）＋31010×255＝22．因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈（2，32），所以α＋β＝34．考点：三角函数的求值、求角．三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式．16．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．试卷第7页，总18页【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，就要证MN与平面11BBCC内的一条直线平行，注意到,MN都是相应线段中点，特别是1AC与1AC的交点就是N，这样有中位线定理就可行线线平行，从而证得线面平行；（2）要证线线MN与AD垂直，可以证明AD与BC垂直，这样结合已知1ADDC，只要证AD平面11BCCB即可，为此还要一个线线垂直，而这由直棱柱的定义可得．试题解析：证明：（1）如图，连结A1C．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC．又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．又AD平面ABC，所以CC1⊥AD．因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C．又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC．又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2．设∠AOC＝xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π；（2）当∠AOC为23时，改建后的绿化区域面积S最大．【解析】试题分析：本题是三角函数应用题，解题的关键是建立函数关系．（1）求面积S，它由试卷第8页，总18页两部分组成，一个是扇形面积，由扇形面积公式212Sαr可得，另一个是ΔOCD面积，观察图形选用面积公式1sin2SabC易得，两者相加即得；（2）由于S＝1600sinx＋800x，因此其最大值可用导数的知识求解，即求出导函数'()Sx，讨论()Sx的单调性后可得极值、最值．试题解析：（1）因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝22xOA＝800x，0＜x＜π．在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx．从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）由（1）知，S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋12）．由S′（x）＝0，解得x＝23．从而当0＜x＜23时，S′（x）＞0；当23