2017届河北衡水中学高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题(解析版)

第1页共17页2017届河北衡水中学高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题一、选择题1．若集合|0Bxx，且ABA，则集合A可能是（）A．1,2B．|1xxC．1,0,1D．R【答案】A【解析】试题分析：因为ABA，所以AB，下列选项中只有选项A中的集合是集合B的子集，故选A.【考点】集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.2．复数1izi的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】试题分析：(1)111(1)(1)222iiiiiziii，所以122iz，即复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D.【考点】1.复数的相关概念；2.复数的运算.3．已知平面向量,ab满足5aab，且2,1ab，则向量a与b夹角的余弦值为（）A．32B．32C．12D．12【答案】C【解析】试题分析：22()cos,42cos,5aabaabaababab，所以1cos,2ab，故选C.【考点】向量的数量积.4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）第2页共17页A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入1,a0,1kb，11,112aab1011,2,112kaab，1112,1,12kaab，输出2k，故选B.【考点】程序框图.5．已知数列na中，111,21,nnnaaanNS为其前n项和，5S的值为（）A．57B．61C．62D．63【答案】A【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131aaaaaaaaa，所以512345137153157Saaaaa，故选A.【考点】1.数列的递推公式；2.数列求和.6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．23B．3C．29D．169【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为2、高为4的圆锥的13，所以该几何体的体积1116224339V，故选D.【考点】三视图.第3页共17页7．为了得到cos2yx，只需将sin23yx作如下变换（）A．向右平移3个单位B．向右平移6个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位【答案】C【解析】试题分析：因为cos2sin(2)sin[2()]2123yxxx，所以只需将sin(2)3yx的图象向左平移12个单位即可得到函数cos2yx的图象，故选C.【考点】图象平移变换.8．若A为不等式组002xyyx，表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1B．32C．34D．74【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A，当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域为下图中的四边形AODE，所以其面积为11172212224AOCDECSSS，故选D.【考点】线性规划.9．焦点在x轴上的椭圆方程为222210xyabab，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（）A．14B．13C．12D．23第4页共17页【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得112(22)223bcbac得，2ac，即12cea，故选C.【考点】椭圆的标准方程与几何性质.10．在四面体SABC中，,2,2ABBCABBCSASC，二面角SACB的余弦值是33，则该四面体外接球的表面积是（）A．86B．6C．24D．6【答案】B【解析】试题分析：因为,2,ABBCABBC所以2ACSASB，设AC的中点为D，连接AD，则三角形SAC的外心1O为在线段AD上，且11333DOAD，又三角形ABC的外心为D，又,SDACBDAC，所以AC平面SDB，过D垂直于平面ABC的直线与过1O垂直于平面SAC的直线交于点O，则O为四面体外接球的球心，又3cos3SDB，所以13sinsin()cos23ODOSDBSDB，所以1116tan6OOODODO，设外接圆半径为R，则2221132RSOOO，所以246SR，故选B.【考点】1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.第5页共17页11．已知函数52log11221xxfxxx，则关于x的方程fxaaR实根个数不可能为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()yfx的图象，由图象可知，方程fxaaR的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.【考点】函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12．函数sin2,02fxAxA部分图象如图所示，且0fafb，对不同的12,,xxab，若12fxfx，有123fxx，则（）A．fx在5,1212上是减函数B．fx在5,1212上是增函数第6页共17页C．fx在5,36上是减函数D．fx在5,36上增减函数【答案】B【解析】试题分析：由图可知2A，12222xxab，所以12xx，12()2sin(2)3fxx，所以3sin2，3，所以()2sin(2)3fxx，由此可知函数fx在5,1212上是增函数,故选B.【考点】三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A，再根据周期确定，由最高点的值或最低点的值确定，求出解析式后再研究函数相关性质.二、填空题13．4111xx的展开式中2x项的系数为．【答案】2【解析】试题分析：4111xx的展开式中2x项的系数为2344(1)2CC,故填2.【考点】二项式定理.14．已知抛物线220ypxp上一点1,Mm到其焦点的距离为5，双曲线221yxa的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a．【答案】14【解析】试题分析：抛物线220ypxp上一点1,Mm到其焦点的距离152pd,所以8p，抛物线方程为216yx，点(1,4)M，点(1,0)A，4021(1)AMk，所以12a，即14a，故应填14.【考点】抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15．如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测第7页共17页得M点的仰角60,MANC点的仰角45CAB以及75MAC，从C点测得60MCA，已知山高100BCm，则山高MNm．【答案】150【解析】试题分析：由题意可知100ABBCm，所以1002ACm，在三角形ACM中，由正弦定理得sin601003sin45ACAMm，所以3sin6010031502MNAMm，故应填150.【考点】解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16．设函数21,xxxfxgxxe，对任意12,0,xx，不等式121gxfxkk恒成立，则正数k的取值范围是．【答案】121ke【解析】试题分析：对任意12,0,xx，不等式121gxfxkk恒成立等价于12maxmin1gxfxkk，2110,()2xxfxxxx，当且仅当1x时取等号，所以min()(1)2fxf，即2min211fxkk，21()()xxxxexexgxee，当01x时，()0gx，当1x时，()0gx，所以函数()gx在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，所以max1()(1)gxge，所以1max1gxkke，所以有121kek，解之得121ke.【考点】1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.第8页共17页【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题17．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099.（1）求实施新政策后第n年的人口总数na的表达式（注：2016年为第一年）；（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施,问到2035年后是否需要调整政策？（说明:10100.9910.010.9）.【答案】（1）1045.50.51,110500.99,11nnnnan；（2）到2035年不需要调整政策.【解析】试题分析：（1）由题意可知，从2016年开始到2025年每年人口数成等差数列无增长，从2026年开始到2035年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可；（2）求出从2016年到2035年的人口总数20S，求其平均值即可.试题解析：（1）当10n时，数列na是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，45.50.51nan当11n时，数列na是以公比为0.99的等比数列，又1050a10500.99nna因此，新政策实施后第n年的人口总数na（单位：万）的表达式为1045.50.51,110500.99,11nnnnan（2）设nS为数列na的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：102010111220...477