2017届湖北省当阳市第一中学高三10月月考数学(理)试题

页1第湖北省当阳市第一中学2017届高三年级上学期10月月考数学（理科）检测题★祝考试顺利★时间：120分钟分值150分_第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数3i1iz，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应的点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2．对于方程||2||1111[()]|()|02222xxk的解，下列判断不正确的是（）A.14k时，无解B.0k时，2个解C.104k.C时，4个解D.0k.0Dk时，无解3．在ABCBCABABC则已知向量中),27cos2,63cos2(),72cos,18(cos,的面积等于A．22B．42C．23D．24．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度等于（）A．2B．1C．D．5．已知x，y，a，b的最小值是则且ybxa,1yx,R（）A、2)ba(B、b1a1C、baD、a+b6．己知集合|23|lg(2)0MxxNxx，则MN（）.页2第(A)(2,)(B)1,3(C)2,1(D)(2,3)7．若20xaxb的解集是|23xx，则210bxax的解集为（）A、11{}23xx︱B、11{|}23xxC、11{|}23xxD.11{}23xx︱8．已知2sin,55)45sin(则等于（）A．54B．54C．53D．539．将奇函数)22,0,0)(sin()(AxAxf的图象向左平移6个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为A．2B．6C．4D．310．已知如图所示的三棱锥ABCD的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，3AB，3AC，32BDCDBC，则球O的表面积为A．4B．12C．16D．3611．直线210xay与01)1(ayxa平行，则a的值为()A．12B．12或0C．0D．－2或012．设p∶210||2xx，q∶260xx，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）BACD页3第13．如图是一个算法的程序框图，当输入3x时，输出y的结果是。14．已知向量⊥，||=3，则•=．15．已知集合M{1,0,2}，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个.16．在等差数列na中，已知11a，2d，则第3项3a．三、解答题（70分）17．（本题12分）已知关于x的一元二次函数241fxaxbx．（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yfx在区间1,上是增函数的概率；（2）设点,ab是区域8000xyxy内的随机点，求函数()[1,)yfx在区间上是增函数的概率．18．（本题满分12分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线41:=-32lyx，被圆M所截的弦长为3，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设(0,),(0,+6)(-5-2)AtBtt，若圆M是ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值.19．（本题12分）长方形ABCD中，22AB，1BC．以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示页4第的直角坐标系．OxyABCD(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点(0,2)P的直线l交(1)中椭圆于MN，两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（本题12分）如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，CBCD，ADDB，P，Q分别在线段AB，AC上，3APPB，2AQQC，M是BD的中点．（1）证明：DQ//平面CPM；（2）若二面角CABD的大小为3，求BDC的正切值．21．（本题12分）已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋111abc2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．22．（本题10分）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2经过椭圆Γ∶22221xyab（ab0）的右焦点F和上顶点B.（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OMOQ的最大值．页5第页6第答案选择：1_5DCADA6_10BCDBC11_12BB13．214．915．316．5．17．（1）13；（2）13．解：（1）∵函数2()41fxaxbx的图象的对称轴为2,bxa要使2()41fxaxbx在区间[1,)上为增函数，当且仅当a0且21,2bbaa即，若a=1则b=－1；若a=2则b=－1，1；若a=3则b=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为51153．（2）由（1）知当且仅当2ba且a0时，函数2()41fxaxbx在区间[1,)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由80168(,),332abab得交点坐标为∴所求事件的概率为18812313882P．18．（I）(1,0)M,即圆22:(1)+=1Mxy.（II）S(max)=6(1+1/4)=15/2，S(min)=6(1+1/8)=27/4解：41:=-32lyx,即34-3-=02xy.设圆心(,0)Ma，弦长的一半为32，半径=1r，故M到直线l的距离231=1-()=22d，又2234-2=4+3ad，所以34-12=52a，解得=1a或1=-4a，即1(1,0)(-,0)4M或.又因为M在l下方，所以(1,0)M,即圆22:(1)+=1Mxy.（II）设直线AC、BC的斜率分别为12kk、，易知12kk，即12-0kk，则直线AC的方程为1=+ykxt，直线BC的方程为2=++6ykxt，联立解得点C横坐标为126-kk，因为+6-=6ABtt，所以△ABC的面积1212161862--Skkkk.页7第∵AC、BC与圆M相切,∴圆心M到AC的距离1121+===1+1ktdrk，解得211-=2tkt，圆心M到BC的距离2222++6===1+1ktdrk，解得221-(+6)=2(+6)tkt.所以21223(61)-=6ttkktt，2226(6)1==6(1-)6161ttStttt∵-5≤t≤-2∴-2≤t+3≤1∴0≤(t+3)²≤4∴-8≤t²+6t+1＝(t+3)²-8≤-4∴S(max)=6(1+1/4)=15/2S(min)=6(1+1/8)=27/419．(1).12422yx；(2)存在过(0,2)P的直线l:22xy，20．（1）见解：（2）62解：（1）证明：取AB的中点E，则2AEAQEPQC，所以EQ//PC．又EQ平面CPM，所以EQ//平面CPM．又PM是△BDE的中位线，所以DE//PM，从而DE//平面CPM．所以平面DEQ//平面CPM，故DQ//平面CPM．（2）解法1：由AD平面BCD知，ADCM由,BCCDBMMD知BDCM，故CM平面ABD．由（Ⅰ）知DE//PM，而DEAB，故PMAB．所以CPM是二面角CABD的平面角，页8第即3CPM．设PMa，则3CMa，2DMBMa,在Rt△CMD中，36tan22MCaMDCMDa．所以BDC的正切值为62．解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设MCa，MDb，则,0,0Ca，0,,0Bb，0,,2Abb则,,0BCab，0,2,2BAbb设1,,nxyz平面ABC的一个法向量，则110,0.nBCnBA即0,220.axbybybz取1,,nbaa不难得到平面ABD的一个法向量为21,0,0n，所以12221cos22bnnba，，所以62ab在Rt△CMD中，6tan2MCaMDCMDb所以BDC的正切值为62．21．解：法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得页9第a2＋b2＋c2≥3(abc)23，①111abc≥3(abc)－13，②所以111abc2≥9(abc)－23.故a2＋b2＋c2＋111abc2≥3(abc)23＋9(abc)－23.又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理222111abc≥111abbcac，②故a2＋b2＋c2＋111abc2≥ab＋bc＋ac＋31ab＋31bc＋31ac≥63.③所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．22．（1）22184xy；（2）23．解：（1）在C：（x－1）2＋（y－1）2＝2中，页10第令y＝0得F（2，0），即c＝2，令x＝0，得B（0，2），b＝2，由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：22184xy.（4分）（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx（x0，k0），设P（x1，kx1），Q（x2，kx2）由22184ykxxy得：（1＋2k2）x2＝8，∴x2＝22212k.（6分）由22(1)(1)2ykxxy得：（1＋k2）x2－（2＋2k）x＝0，∴x1＝2221kk，∴OMOQ＝11(,)22xkx·（x2，kx2）＝12（x1x2＋k2x1x2）＝222112kk（k0）.（9分）＝2222(1)12kk＝22222112kkk.设φ（k）＝222112kkk，φ′（k）＝222422(12)kkk，令φ′（k）＝222422(12)kkk0，得－1k12.又k0，∴φ（k）在1(0,)2上单调递增，在1(,)2上单调递减．∴当k＝12时，φ（k）max＝φ（12）＝32，即OMOQ的最大值为23.（13分）