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1万有引力定律及其应用一、选择题(其中1－6题，只有一个选项正确，7－11题有多个选项正确)1．(2013·江苏)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上．故A项错误；第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，所以行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故B项错误；太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，是对同一个行星而言，故D项错误；R3T2＝k，k与行星无关，与中心天体有关，故C项正确．答案C设置目的考查开普勒定律2．(2015·龙岩综测)如图所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ自转，AB与PQ是互相垂直的直径．星球在A点的重力加速度是P点的90%，星球自转的周期为T，万有引力常量为G，则星球的密度为()A.0.3πGT3B.3πGT2C.10π3GT2D.30πGT2解析因为两极处的万有引力等于物体的重力，故：GP＝GMmR2由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力之差，故：GMmR2－0.9·GMmR2＝m4π2T2R解得：M＝40π2R3GT2则星球的密度：ρ＝M4πR33＝30πGT2故选D项．答案D命题立意本题旨在考查万有引力定律及其应用23．(2013·福建)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()A．GM＝4π2r3T2B．GM＝4π2r2T2C．GM＝4π2r2T3D．GM＝4πr3T2解析行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即GMmr2＝m2πT2r，解得GM＝4π2r3T2，A正确．答案A4．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.mv2GNB.mv4GNC.Nv2GmD.Nv4Gm解析由N＝mg，得g＝Nm；根据万有引力提供向心力，得GMmR2＝mv2R，解得M＝mv4GN，选项B正确．答案B设置目的考查星体上的称重5．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－dRB．1＋dRC．(R－dR)2D．(RR－d)2解析题目介绍质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以在矿井底部物体m′的重力近似等于其与内部的万有引力，m′g′＝Gρ43π（R－d）3m′（R－d）2，同理地面处的物体m′的重力近似等于其与地球的万有引力，m′g＝Gρ43πR3m′R2，联立以上两式，得g′g＝1－dR.答案A设置目的训练对称性、微分的思想及万有引力公式适用条件的应用3学法指导很多学生错选B或D，均为物理模型的构建能力不能迁移，前面例题中专门讲了地球中心的物体所受万有引力的情景．6．(2015·湖北襄阳)宇航员站在星球表面上某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L.若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R，求该星球的质量是()A.4LR23Gt2B.2LR23Gt2C.3LR22Gt2D.3LR24Gt2解析设星球的表面重力加速度为g，从高为h处，第一次初速度为v，则L2＝(12gt2)2＋(vt)2；第二次初速度为2v，则(3L)2＝(12gt2)2＋(2vt)2；结合近似计算，忽略星球自转的作用，其表面物体的重力跟万有引力近似相等，mg≈GMmR2，联立以上三式，可得M＝2LR23Gt2，选项B正确，A、C、D选项错误．答案B设置目的训练天体质量的计算方法，特别是与平抛结合7．(2015·盐城1月检测)宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，则关于g0、N下面正确的是()A．g0＝NmB．g0＝R2gr2C．N＝RrmgD．N＝0解析忽略地球的自转，根据万有引力等于重力列出等式：宇宙飞船所在处，有mg0＝GMmr2，在地球表面处：mg＝GMmR2，解得：g0＝R2r2g，宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动，飞船舱内物体处于完全失重状态，即人只受重力，所以人对台秤的压力为0.故选B、D项．答案BD命题立意本题旨在考查万有引力定律及其应用、牛顿第二定律、向心力8．(2015·安徽黄山)2005年北京时间7月4日下午1时52分(美国东部时间7月4日凌晨1时52分)探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大对撞”，如图所示(说明图摘自网站)．假设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行4的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是()A．绕太阳运动的角速度不变B．近日点处线速度大于远日点处线速度C．近日点处加速度大于远日点处加速度D．其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个与太阳质量有关的常数解析根据开普勒定律可以判断B、D项正确，A项错误；近日点受到的万有引力大，所以加速度大，C项正确．答案BCD设置目的考查万有引力在天体中的应用及开普勒定律在椭圆轨道中的应用9．(2015·永州三模)如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L.从星球A沿A、B连线向星球B以某一初速度发射一探测器，只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是()A．探测器的速度一直减小B．探测器在距星球A为L4处加速度为零C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零D．若探测器能到达星球B，其速度一定大于发射时的初速度解析A项，探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故A项错误；B项，当探测器合力为零时，加速度为零，则有：GmAmrA2＝GmBmrB2，因为mA∶mB＝1∶9，则：rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为：x＝L4，故B项正确；C、D项，探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的合力做正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的速度，故C项错误，D项正确；故选B、D项．答案BD命题立意本试题旨在考查万有引力定律及其应用10．(2015·吉林长春)我们可以假想人类在进行探月活动中不断地向月球“移民”，经过较5长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，以下说法正确的是()A．月球与地球之间的万有引力将变小B．月球绕地球运动的周期将变大C．月球绕地球运动的向心加速度将变小D．月球表面的重力加速度将变大解析根据万有引力定律公式知，F＝GMmr2，F′＝G（M－Δm）（m＋Δm）r2，由于月球仍按原轨道运行，(M－Δm)(m＋Δm)＝Mm＋(M－m－Δm)ΔmMm，即月球与地球之间的万有引力将变大．故A选项错误；由于地球的质量变小，由F′＝G（M－Δm）（m＋Δm）r2＝(m＋Δm)r(2πT)2＝(m＋Δm)a可知，月球绕地球的周期将变大，月球绕地球运动的向心加速度将变小，故B、C选项正确；由月球对其表面物体的万有引力等于其重力可知，由于月球质量变大，因而月球表面的重力加速度将变大．答案BCD设置目的考查万有引力变化的分析、考查万有引力提供向心力11．(2015·湖北省100所重点中学)如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多．该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统，由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到1000万年的时间内会完全“爆炸”，从而变成一颗超新星，并同时放出大量的γ射线，这些γ射线到达地球后会对地球的臭氧层造成毁灭性的破坏．现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星间的距离在一段时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是()A．两星间的万有引力不变B．两星的运动周期不变C．类日伴星的轨道半径增大D．白矮星的轨道半径增大解析两星间距离在一段时间内不变，由万有引力定律可知，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，则万有引力必定变化．故选项A错误；组成的双星系统的周期T相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为R1和R2，由万有引力定律提供向心力：GM1M2L2＝M14π2R1T2＝M24π2R2T2，可得GM1＝4π2R2L2T2，GM2＝4π2R1L2T2，两式相加G(M16＋M2)T2＝4π2L3，白矮星与类日伴星的总质量不变，则周期T不变．故B项正确；由GM1M2L2＝M14π2R1T2＝M24π2R2T2得，M1R1＝M2R2.知双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大．故C项正确，D项错误．答案BC设置目的考查学生提炼信息的能力二、非选择题12．(2014·四川)石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g＝10m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5rad/s，地球半径R＝6.4×103km.解析(1)因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，则轨道站的线速度v＝(R＋h1)ω，货物相对地心的动能Ek＝12m1v2＝12m1(R＋h1)2ω2(2)根据GMm2（h2＋R）2－N＝m2a，因为a＝(h2＋R)ω2＝5Rω2，GMmR2＝mg，联立解得N＝m2g25－5m2Rω2＝50025N－5×50×6.4×106×(7.3×10－5)2N≈11.5N．根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为11.5N.答案(1)12m1(R＋h1)2ω2(2)11.5N设置目的考查重力随地理位置、高度等的变化分析